Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tuần 2 tháng 2/2017: Chứng minh tam giác $NUV$ cân.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4178 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 13-02-2017 - 02:27

Như vậy là lời giải cho bài Tuần 1 tháng 2 năm 2017 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và phân giác $AD$. $K,L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ADB,ADC$. Tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $AK,AL$ cắt $OT$ tại $P,Q$. $E,F$ là hình chiếu của $Q,P$ lên $CA,AB$. $M,N$ là trung điểm của $BC,AM$. $NE,NF$ cắt $BC$ tại $U,V$. Chứng minh rằng tam giác $NUV$ cân.

 

Screen Shot 2017-02-13 at 5.26.55 AM.png


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Hàm

Đã gửi 13-02-2017 - 06:29

Lời giải:

Phân giác ngoài góc $A$  của tam giác $ABC$ cắt $BC$ tại $T'$ . $O'$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ , $T'O'$ cắt $AB,AC$ tại $P',Q'$

 

Dễ nhận thấy các điều sau : $O$ là điểm chính giữa cung nhỏ $KL$ của $(AKL)$ và $AT$ là phân giác ngoài góc $A$ của tam giác $AKL$

 

Phép vị tự tỉ số $\frac{AB}{AK}$ tâm $A$ hợp phép quay góc $(AK,AB)$ tâm $A$ biến lần lượt :$K,L,O,T,P,Q \mapsto B,C,O',T',P',Q'$

 

Suy ra $APP'$ cân tại $P$ nên $F$ là trung điểm $AP'=>$$\widehat{NVU}=\widehat{BMP'}$  nên ta cần chứng minh $\widehat{BMP'}=\widehat{CMQ'}$

 

Điều này đúng do $M(T'O',P'Q')=-1$ với $O'M$ vuông góc với $MT'$ suy ra $\widehat{BMP'}=\widehat{CMQ'}$ . Vậy nên tam giác $NUV$ cân tại $N$

14.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 13-02-2017 - 06:30


#3 quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 13-02-2017 - 12:35

Dễ dàng chứng minh T,K,L thẳng hàng

ta có $\widehat{BAP}$=$\widehat{CAQ}$    $\Rightarrow \Delta FAP=\Delta EAQ$.   $\Rightarrow \Delta AHQ=\Delta FAE$.   $\Rightarrow \widehat{AQP}=\widehat{AEF}$

hạ $AH\perp OT$,$AH\cap (O)=R$,$AD\cap (O)=J$.  suy ra   AQEH nội tiếp,   và  góc AEH=góc AQP.    

suy ra $\overline{F,H,E}$.  lấy X,Y thuộc AB,AC sao cho F,E là trung điểm AX,AY.  Dễ thấy $\Delta AOJ$    =$\Delta AQY$. $\Rightarrow \Delta AQO$=     $\Delta AYJ$.   $\Rightarrow \widehat{AQO} =\widehat{AEH}  =\widehat{AYJ}  =\widehat{AES}$ (S là trung điểm AJ)

$\Rightarrow$  $\overline{F,H,S,E}$   $\Rightarrow \overline{X,R,J,Y}$ Mà AZ,BC,RJ đồng qui tại W(Z là trung điểm cung BC)$\Rightarrow A(WDBC)=-1\Rightarrow$ (WJXY)=-1,mà $MJ\perp MW\Rightarrow \widehat{XMW}=\widehat{YMC}\Rightarrow \widehat{NUV}=\widehat{NVU}\Rightarrow$ đpcm

Hình gửi kèm

  • tuần 2 tháng 2.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynhlqd2016: 13-02-2017 - 14:43






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh