Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 2 tháng 2/2017: Chứng minh tam giác $NUV$ cân.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4247 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 13-02-2017 - 02:27

Như vậy là lời giải cho bài Tuần 1 tháng 2 năm 2017 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và phân giác $AD$. $K,L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ADB,ADC$. Tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $AK,AL$ cắt $OT$ tại $P,Q$. $E,F$ là hình chiếu của $Q,P$ lên $CA,AB$. $M,N$ là trung điểm của $BC,AM$. $NE,NF$ cắt $BC$ tại $U,V$. Chứng minh rằng tam giác $NUV$ cân.

 

Screen Shot 2017-02-13 at 5.26.55 AM.png


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 13-02-2017 - 06:29

Lời giải:

Phân giác ngoài góc $A$  của tam giác $ABC$ cắt $BC$ tại $T'$ . $O'$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ , $T'O'$ cắt $AB,AC$ tại $P',Q'$

 

Dễ nhận thấy các điều sau : $O$ là điểm chính giữa cung nhỏ $KL$ của $(AKL)$ và $AT$ là phân giác ngoài góc $A$ của tam giác $AKL$

 

Phép vị tự tỉ số $\frac{AB}{AK}$ tâm $A$ hợp phép quay góc $(AK,AB)$ tâm $A$ biến lần lượt :$K,L,O,T,P,Q \mapsto B,C,O',T',P',Q'$

 

Suy ra $APP'$ cân tại $P$ nên $F$ là trung điểm $AP'=>$$\widehat{NVU}=\widehat{BMP'}$  nên ta cần chứng minh $\widehat{BMP'}=\widehat{CMQ'}$

 

Điều này đúng do $M(T'O',P'Q')=-1$ với $O'M$ vuông góc với $MT'$ suy ra $\widehat{BMP'}=\widehat{CMQ'}$ . Vậy nên tam giác $NUV$ cân tại $N$

14.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 13-02-2017 - 06:30

~O)  ~O)  ~O)


#3 quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 13-02-2017 - 12:35

Dễ dàng chứng minh T,K,L thẳng hàng

ta có $\widehat{BAP}$=$\widehat{CAQ}$    $\Rightarrow \Delta FAP=\Delta EAQ$.   $\Rightarrow \Delta AHQ=\Delta FAE$.   $\Rightarrow \widehat{AQP}=\widehat{AEF}$

hạ $AH\perp OT$,$AH\cap (O)=R$,$AD\cap (O)=J$.  suy ra   AQEH nội tiếp,   và  góc AEH=góc AQP.    

suy ra $\overline{F,H,E}$.  lấy X,Y thuộc AB,AC sao cho F,E là trung điểm AX,AY.  Dễ thấy $\Delta AOJ$    =$\Delta AQY$. $\Rightarrow \Delta AQO$=     $\Delta AYJ$.   $\Rightarrow \widehat{AQO} =\widehat{AEH}  =\widehat{AYJ}  =\widehat{AES}$ (S là trung điểm AJ)

$\Rightarrow$  $\overline{F,H,S,E}$   $\Rightarrow \overline{X,R,J,Y}$ Mà AZ,BC,RJ đồng qui tại W(Z là trung điểm cung BC)$\Rightarrow A(WDBC)=-1\Rightarrow$ (WJXY)=-1,mà $MJ\perp MW\Rightarrow \widehat{XMW}=\widehat{YMC}\Rightarrow \widehat{NUV}=\widehat{NVU}\Rightarrow$ đpcm

Hình gửi kèm

  • tuần 2 tháng 2.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynhlqd2016: 13-02-2017 - 14:43






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh