Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 2 tháng 2/2017: Chứng minh tam giác $NUV$ cân.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Như vậy là lời giải cho bài Tuần 1 tháng 2 năm 2017 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và phân giác $AD$. $K,L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ADB,ADC$. Tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $AK,AL$ cắt $OT$ tại $P,Q$. $E,F$ là hình chiếu của $Q,P$ lên $CA,AB$. $M,N$ là trung điểm của $BC,AM$. $NE,NF$ cắt $BC$ tại $U,V$. Chứng minh rằng tam giác $NUV$ cân.

 

Screen Shot 2017-02-13 at 5.26.55 AM.png


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Lời giải:

Phân giác ngoài góc $A$  của tam giác $ABC$ cắt $BC$ tại $T'$ . $O'$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ , $T'O'$ cắt $AB,AC$ tại $P',Q'$

 

Dễ nhận thấy các điều sau : $O$ là điểm chính giữa cung nhỏ $KL$ của $(AKL)$ và $AT$ là phân giác ngoài góc $A$ của tam giác $AKL$

 

Phép vị tự tỉ số $\frac{AB}{AK}$ tâm $A$ hợp phép quay góc $(AK,AB)$ tâm $A$ biến lần lượt :$K,L,O,T,P,Q \mapsto B,C,O',T',P',Q'$

 

Suy ra $APP'$ cân tại $P$ nên $F$ là trung điểm $AP'=>$$\widehat{NVU}=\widehat{BMP'}$  nên ta cần chứng minh $\widehat{BMP'}=\widehat{CMQ'}$

 

Điều này đúng do $M(T'O',P'Q')=-1$ với $O'M$ vuông góc với $MT'$ suy ra $\widehat{BMP'}=\widehat{CMQ'}$ . Vậy nên tam giác $NUV$ cân tại $N$

14.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 13-02-2017 - 06:30

~O)  ~O)  ~O)


#3
quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Dễ dàng chứng minh T,K,L thẳng hàng

ta có $\widehat{BAP}$=$\widehat{CAQ}$    $\Rightarrow \Delta FAP=\Delta EAQ$.   $\Rightarrow \Delta AHQ=\Delta FAE$.   $\Rightarrow \widehat{AQP}=\widehat{AEF}$

hạ $AH\perp OT$,$AH\cap (O)=R$,$AD\cap (O)=J$.  suy ra   AQEH nội tiếp,   và  góc AEH=góc AQP.    

suy ra $\overline{F,H,E}$.  lấy X,Y thuộc AB,AC sao cho F,E là trung điểm AX,AY.  Dễ thấy $\Delta AOJ$    =$\Delta AQY$. $\Rightarrow \Delta AQO$=     $\Delta AYJ$.   $\Rightarrow \widehat{AQO} =\widehat{AEH}  =\widehat{AYJ}  =\widehat{AES}$ (S là trung điểm AJ)

$\Rightarrow$  $\overline{F,H,S,E}$   $\Rightarrow \overline{X,R,J,Y}$ Mà AZ,BC,RJ đồng qui tại W(Z là trung điểm cung BC)$\Rightarrow A(WDBC)=-1\Rightarrow$ (WJXY)=-1,mà $MJ\perp MW\Rightarrow \widehat{XMW}=\widehat{YMC}\Rightarrow \widehat{NUV}=\widehat{NVU}\Rightarrow$ đpcm

Hình gửi kèm

  • tuần 2 tháng 2.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynhlqd2016: 13-02-2017 - 14:43






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh