Bài 1: Tính tổng chuỗi hàm số $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n(n+1)x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
Bài 2: Tính tổng chuỗi số $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n. \pi^{2n}}{(2n)!}$
#2
Đã gửi 13-02-2017 - 16:53
An Infinitesimal
-
- Thành viên
-
- 1803 Bài viết
Đại úy
Bài 1: Tính tổng chuỗi hàm số $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n(n+1)x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
Bài 2: Tính tổng chuỗi số $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n. \pi^{2n}}{(2n)!}$
Không dễ dàng nếu như không nhờ vào "trí nhớ" và liên tưởng đến khai triển Maclarurin của $\sin x $ và $\cos x$:
\[ \cos x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\]
\[ \sin x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]
Suy ra
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2n}}{(2n)!} =\cos \pi =-1.\]
\[ x\sin x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+2}}{(2n+1)!}.\]
Chuỗi này đủ tốt, ta được phép lấy đạo hàm "từng số hạng":
\[ \sin x+x\cos x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n+2)x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]
Suy ra
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (n+1)x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{\sin x+x\cos x}{2}.\]
Đời người là một hành trình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
