Chủ đề này có 1 trả lời

[hieu31320001]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leqslant 6$. Tìm GTLN của biểu thức

$P=\frac{abc(5ab+9bc+8ac)}{(4a+3b)(5b+4c)(3c+5a)}$

[phamngochung9a]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leqslant 6$. Tìm GTLN của biểu thức

$P=\frac{abc(5ab+9bc+8ac)}{(4a+3b)(5b+4c)(3c+5a)}$

Theo $\text{AM-GM}$, ta có:

$P=\frac{abc\left ( 5ab+9bc+8ac \right )}{\left ( 4a+3b \right )\left ( 5b+4c \right )\left ( 3c+5a \right )}\leq \frac{abc\left ( 5ab+9bc+8ac \right )}{8\sqrt{3600a^{2}b^{2}c^{2}}}=\frac{5ab+9bc+8ca}{480}$

 

Lại có: $5ab+9bc+8ac\leq 5ab+\left ( 8a+9b \right )\left ( 6-a-b \right )\\=-8a^{2}-12ab+48a+54b-9b^{2}\\=-2\left [ 4a^{2}+6a\left ( b-4 \right )+\frac{9\left ( b-4 \right )^{2}}{4} \right ]-\frac{9}{2}b^{2}+18b+72\\=-2\left [ 4a^{2}+6a\left ( b-4 \right )+\frac{9\left ( b-4 \right )^{2}}{4} \right ]-\frac{9}{2}\left ( b-2 \right )^{2}+90\\=-2\left [ 2a+\frac{3\left ( b-4 \right )}{2} \right ]^{2}-\frac{9}{2}\left ( b-2 \right )^{2}+90\leq 90$

 

Khi đó: $P\leq \frac{90}{480}=\frac{3}{16}$

 

Vậy $\max{P}=\frac{3}{16}$ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix} a=\frac{3}{2} & & \\ b=2 & & \\ c=\frac{5}{2} & & \end{matrix}\right.$