Chủ đề này có 2 trả lời

[Thuat ngu]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left ( x+f\left ( y \right ) \right )=2y+f\left ( f\left ( x \right )-y \right ) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

[9nho10mong]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left ( x+f\left ( y \right ) \right )=2y+f\left ( f\left ( x \right )-y \right ) ,\forall x,y\in \mathbb{R} \quad{(1)}$

Trong $(1)$ thay $x=-f(y)$ thu được

$$ f(0) = 2y+f (  f( -f(y) ) -y ) \ , \forall y \in \mathbb{R}  $$

Từ đó dễ thấy $f$ là toàn ánh. Ta sẽ chứng minh $f$ là đơn ánh.

 

Giả sử $f$ không đơn ánh, khi đó có các số thực $a \neq b $ mà $ f(a)=f(b)$.

 

Trong $(1)$ thay $x=a$ thu được

$$ f(a+f(y)) = 2y+f(f(a)-y) =2y+f(f(b)-y) = f(b+f(y)) \ , \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)} $$

Do $f$ là toàn ánh nên từ $(2)$ có

$$ f( y) = f(y+b-a) \ , \forall y \in \mathbb{R} \quad{(3)}  $$

Từ $(3)$ dễ thấy 

$$ f(y - (b-a)) = f (y) \ , \forall y \in \mathbb{R} \quad{(4)} $$

Trong $(1)$ thay $y$ bằng $y+b-a$ được

$$   f(x + f(y+b-a)) = 2y + 2b-2a + f(f(x) - y- (b-a))\ , \forall x,y \in \mathbb{R} $$

Từ đó kết hợp với $(1)$, $(3)$ và $(4)$ được

$$ 2y+f(f(x)-y) = f(x+f(y))  =  f(x + f(y+b-a)) = 2y + 2b-2a + f(f(x) - y- (b-a))  = 2y+2b-2a + f(f(x)-y) \ , \forall x,y \in \mathbb{R} $$

Từ đó suy ra $a=b $. Vô lý.

 

Vậy $f$ đơn ánh.

 

Trong $(1)$ thay $y=0$ được

$$ f(x+f(0)) = f(f(x)) \ , \forall x \in \mathbb{R} $$

Do $f$ đơn ánh nên suy ra

$$ f(x) = x+f(0) \ , \forall x \in \mathbb{R} $$

Thử lại thấy $f (x) = x+c \ , \forall x \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(1)$. Đó chính là nghiệm của bài toán. 

[I Love MC]

Đây là đề Germany TST 2003 
Thay $y$ ở $x$,$x$ bởi $y$ cho ta : 
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$ 
Với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý chọn $y=f(0)-2\beta$ . Chọn $\alpha=-f(\beta)$ và $\gamma=f(\alpha)-\beta$ 
Từ đó dễ dàng ta có $f(\gamma)=y$  suy ra $f$ là toàn ánh $\Rightarrow$ tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$ 
Từ phương trình đề cho $x=a$ $f(y)=2a+f(f(y)-a)$ 
Vì $f$ là toàn ánh nên tồn tại $y$ sao cho $f(y)=x+a$. Khi đó $x=f(y)-a=a+f(f(y)-a)=f(x)+a \Rightarrow f(x)=x+c,c=const (1)$ 
Thử lại thấy $(1)$ thỏa mãn nên hàm cần tìm là $f(x)=x+c,c=const$