Chủ đề này có 2 trả lời

[LoveMath1234]

Cho $a,b,c\geq 0$ : $a+b+c=6$

CMR: $-4\leq a^2b+b^2c+4ca^2-5abc\leq 128$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c\geq 0$ : $a+b+c=6$

CMR: $-4\leq a^2b+b^2c+4ca^2-5abc\leq 128$

 

Viết vế phải lại như sau

\[a^2b+b^2c+4ca^2-5abc\leq \frac{16}{27}(a+b+c)^3.\]

Bất đẳng thức này tương đương với

\[\begin{aligned}\frac{1}{27}16b(a-b+2c)^{2}&+\frac{1}{432}(256c+37a)(2a+2b-c)^2+\frac{1}{16}a(2a-2b-c)^2\\&+\frac{1}{54}b(128ab+42bc+83ca+96c^2) \geqslant 0.\end{aligned}\]

Hiển nhiên đúng.

 

Vế trái mình vẫn chưa phân tích được do đẳng thức lệch nhau và lệch biên nhưng vẫn có thể chứng minh bằng bất đẳng thức AM-GM.

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c\geq 0$ : $a+b+c=6$

CMR: $-4\leq a^2b+b^2c+4ca^2-5abc\leq 128$

 

Đây là phân tích cho vế trái. Viết bất đẳng thức lại như sau

\[a^2b+b^2c+4ca^2-5abc+\frac{1}{54}(a+b+c)^3 \geqslant 0,\]

hay là

\[{\frac{1}{324}}\left(6b+329c \right)  \left( 2a-b \right)^{2}+{\frac{1}{1458}\left( 3a+159b+c \right)  \left( 3a-c \right) ^{2}}+{\frac{1}{2916}\left( 42a+13c \right)  \left(3b-2c \right)^{2}}\geqslant 0.\]

P/s. Hôm trước gõ nhầm $4ca^2$ thành $4c^2a$ nên không phân tích không ra. :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 17-02-2017 - 21:43