Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-1-f(y))=3f(x)+2x+f(y), \forall x, y\in \mathbb{R}.$
$f(x-1-f(y))=3f(x)+2x+f(y), \forall x, y\in \mathbb{R}$
#2
Đã gửi 27-02-2017 - 11:10
$f(x-1-f(y)) = 3f(x)+2x+f(y)$
$P(f(y),y) : f(-1) = 3f(f(y))+3f(y) \implies f(f(y)) = \frac{f(-1)}{3}-f(y)$
$P(2f(y)+1,y): f(f(y)) = 3f(2f(y)+1)+2(2f(y)+1)+f(y)$
$\implies f(2f(y)+1) = -2f(y) +\frac{f(-1)-6}{9}$
$P(3f(y)+2,y): f(2f(y)+1)=3f(3f(y)+2)+2(3f(y)+2)+f(y) \implies f(3f(y)+2) =-3f(y)+\frac{f(1)-42}{27}$
$P(3f(x)+2,y) : f(3f(x)+1-f(y)) = 3f(3f(x)+2)+2(3f(x)+2)+f(y) = f(y)-3f(x)+d$ trong đó $d$ là một hằng số
Thật vậy, Do $f(x-1-f(y)) - 3f(x) = 2x+f(y)$ nhận mọi giá trị trên $\mathbb R$ nên ta có thể thay $3f(x)+1-f(y)$ bởi $x$ nên
$f(x) = a-x$ trong đó $a$ là một hằng số
Thay vào ta có $a = \frac{1}{2}$ nên $f(x) = -x +\frac{1}{2}$
- ecchi123 và Zz Isaac Newton Zz thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh