Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}+\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}\geq 6\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}}.$

 

[phamngochung9a]

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}+\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}\geq 6\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}}.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{b+c-a}=x &  & \\ \sqrt{a+c-b}=y &  & \\ \sqrt{a+b-c}=z &  & \end{matrix}\right.$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$\frac{2x+y+z}{\sqrt{x}}+\frac{2y+z+x}{\sqrt{y}}+\frac{2z+x+y}{\sqrt{z}}\geq 6\sqrt{\frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( y+z \right )^{2}+\left ( z+x \right )^{2}}{x+y+z}}$$

 

Chuẩn hóa $x+y+z=3$. Khi đó, ta cần chứng minh:

$$\frac{x+3}{\sqrt{x}}+\frac{y+3}{\sqrt{y}}+\frac{z+3}{\sqrt{z}}\geq 6\sqrt{\frac{18-2\left ( xy+yz+zx \right )}{3}}$$

$$\Leftrightarrow \left ( \frac{x+3}{\sqrt{x}}+\frac{y+3}{\sqrt{y}}+\frac{z+3}{\sqrt{z}} \right )^{2}\geq 24\left ( 9-xy-yz-zx \right )$$

Ta có: 

$$VT=\sum \frac{\left ( x+3 \right )^{2}}{x}+2\sum \frac{\left ( x+3 \right )\left ( y+3 \right )}{\sqrt{xy}}=\frac{9}{x^{2}}+\frac{9}{y^{2}}+\frac{9}{z^{2}}+21+2\sum \frac{xy+3x+3y+9}{\sqrt{xy}}$$

$$\geq \frac{9}{x^{2}}+\frac{9}{y^{2}}+\frac{9}{z^{2}}+21+2\sum \frac{8\sqrt{xy}+8}{\sqrt{xy}}=\frac{9}{x^{2}}+\frac{9}{y^{2}}+\frac{9}{z^{2}}+69+\frac{16}{\sqrt{xy}}+\frac{16}{\sqrt{yz}}+\frac{16}{\sqrt{zx}}$$

 

Do đó, ta cần chứng minh: 

$$\frac{9}{x^{2}}+\frac{9}{y^{2}}+\frac{9}{z^{2}}+\frac{16}{\sqrt{xy}}+\frac{16}{\sqrt{yz}}+\frac{16}{\sqrt{zx}}+24\left ( xy+yz+zx \right )\geq 147$$

Theo $AM-GM$ thì:

• $\frac{16}{\sqrt{xy}}+\frac{16}{\sqrt{yz}}+\frac{16}{\sqrt{zx}}+24\left ( xy+yz+zx \right )\geq 72+16\left ( xy+yz+zx \right )$
• $\frac{9}{x^{2}}+\frac{9}{y^{2}}+\frac{9}{z^{2}}=9.\frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}-6xyz}{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{27}{xyz}=\frac{81}{xyz\left ( x+y+z \right )}\geq \frac{243}{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}$

Đặt $xy+yz+zx=t$ $(t \leq 3)$, ta cần chứng minh: $8t+\frac{243}{t^{2}}\geq 51$      $(*)$

 

Theo $AM-GM$ thì: 

$$8t+\frac{243}{t^{2}}=\left ( 4t+4t+\frac{108}{t^{2}} \right )+\frac{135}{t^{2}}\geq 3\sqrt[3]{4^{2}.108}+\frac{135}{3^{2}}=51$$

 

Do đó, $(*)$ đúng.

 

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c \quad \blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 16-02-2017 - 22:25