Chủ đề này có 3 trả lời

[beanhdao01]

a) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:

$(3-\frac{b+c}{a})(3-\frac{a+c}{b})(3-\frac{a+b}{c})\leq 1$

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = xyz. Cmr:

$\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

P/S: Các bạn giải theo phương pháp lớp 10 và dễ hiểu một chút nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi beanhdao01: 16-02-2017 - 10:55

[Nguyenhuyen_AG]

a) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:

$(3-\frac{b+c}{a})(3-\frac{a+c}{b})(3-\frac{a+b}{c})\leq 1$

 

Giả sử $c = \max\{a,b,c\}$ khi đó

\[1 - \prod \left(3-\frac{b+c}{a}\right) = \frac{[a+b+3(a+b-c)](a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+7(2c-a-b)(a-b)^2}{abc} \geqslant 0.\]

[Trinm]

Cách giải khác câu a:

$VT \leq \frac{(9-\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}-\frac{a+b}{c})^{3}}{27} $

Có bất đẳng thức quen thuộc $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6$

Thêm dấu trừ nữa là ta có đúng chiều bất đẳng thức, suy ra điều phải chứng minh 

[Nguyenhuyen_AG]

Cách giải khác câu a:

$VT \leq \frac{(9-\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}-\frac{a+b}{c})^{3}}{27} $

Có bất đẳng thức quen thuộc $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6$

Thêm dấu trừ nữa là ta có đúng chiều bất đẳng thức, suy ra điều phải chứng minh 

 

Bất đẳng thức AM-GM chỉ áp dụng cho số thực không âm.