Chủ đề này có 1 trả lời

[hxthanh]

Tại cuộc bầu cử tổng thống Mỹ có hai ứng cử viên vào đến "vòng chung kết" đó là:
$A$: ông Donald Trump
$B$: bà Harry Clinton
Cuộc bầu cử diễn ra với toàn bộ $m+n$ phiếu được bỏ một cách ngẫu nhiên.
Kết quả ông $A$ được $m$ phiếu, bà $B$ được $n$ phiếu. $(m>n)$
Tính xác suất để ở mọi thời điểm diễn ra cuộc bầu cử, số phiếu của ông $A$ luôn trội hơn hay chí ít là bằng số phiếu của bà $B$.

[chanhquocnghiem]

Tại cuộc bầu cử tổng thống Mỹ có hai ứng cử viên vào đến "vòng chung kết" đó là:
$A$: ông Donald Trump
$B$: bà Harry Clinton
Cuộc bầu cử diễn ra với toàn bộ $m+n$ phiếu được bỏ một cách ngẫu nhiên.
Kết quả ông $A$ được $m$ phiếu, bà $B$ được $n$ phiếu. $(m>n)$
Tính xác suất để ở mọi thời điểm diễn ra cuộc bầu cử, số phiếu của ông $A$ luôn trội hơn hay chí ít là bằng số phiếu của bà $B$.

Gọi $u_k$ và $v_k$ lần lượt là số phiếu bầu mà ông $A$ và bà $B$ nhận được sau khi có $k$ cử tri bỏ phiếu ($0\leqslant k\leqslant m+n$)

Đặt $f(k)=u_k-v_k$.Ta có $f(0)=0$ ; $f(m+n)=m-n$

Biểu diễn trên hệ trục tọa độ $Oxy$, ta có điểm $O(0;0)$ ứng với thời điểm trước giờ bầu cử ; điểm $Z(m+n;m-n)$ ứng với thời điểm kết thúc

Vì mỗi cử tri chỉ bỏ $1$ phiếu nên $\left | f_{k+1}-f_k \right |=1,\forall k$

Nối tất cả các điểm tương ứng khi $k$ chạy từ 0 đến m+n, ta có "đường đi" từ $O$ đến $Z$ (gồm m+n đoạn, mỗi đoạn có độ dài $\sqrt{2}$, có thể đi lên hay đi xuống)

+ Số "đường đi" có thể có từ $O$ đến $Z$ là $M=C_{m+n}^n$ (vì có tất cả m+n đoạn, trong đó có $n$ đoạn đi xuống)

   Nhận xét rằng nếu "đường đi" có điểm chung với đường thẳng $(d):y=-1$ thì có nghĩa là trong quá trình bầu cử có thời điểm $u_k< v_k$.Gọi số "đường đi" có điểm chung với đường thẳng $d$ là $N$.Ta cần tính $N$.

   Gọi $C(0;-2)$ là điểm đối xứng với $O(0;0)$ qua đường thẳng $(d):y=-1$.Dễ thấy rằng số "đường đi" từ $O$ đến $Z$ có điểm chung với $d$ cũng chính là số "đường đi" từ $C$ đến $Z$, tức là bằng $C_{m+n}^{n-1}$ (vì từ $C$ đến $Z$ có m+1 đoạn đi lên và n-1 đoạn đi xuống)

   Vậy $N=C_{m+n}^{n-1}$

 

Gọi $K$ là biến cố cần tính xác suất.Ta có :

+ $n(\Omega )=M.m!n!$

+ $n(K)=(M-N).m!n!$

Xác suất cần tính là :

$P(K)=\frac{n(K)}{n(\Omega )}=\frac{M-N}{M}=\frac{C_{m+n}^n-C_{m+n}^{n-1}}{C_{m+n}^n}=\frac{(m+1)-n}{m+1}=\frac{m-n+1}{m+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-02-2017 - 16:35