Xác suất bỏ phiếu
#1
Đã gửi 16-02-2017 - 00:39
$A$: ông Donald Trump
$B$: bà Harry Clinton
Cuộc bầu cử diễn ra với toàn bộ $m+n$ phiếu được bỏ một cách ngẫu nhiên.
Kết quả ông $A$ được $m$ phiếu, bà $B$ được $n$ phiếu. $(m>n)$
Tính xác suất để ở mọi thời điểm diễn ra cuộc bầu cử, số phiếu của ông $A$ luôn trội hơn hay chí ít là bằng số phiếu của bà $B$.
- bangbang1412 và chanhquocnghiem thích
#2
Đã gửi 21-02-2017 - 22:00
Tại cuộc bầu cử tổng thống Mỹ có hai ứng cử viên vào đến "vòng chung kết" đó là:
$A$: ông Donald Trump
$B$: bà Harry Clinton
Cuộc bầu cử diễn ra với toàn bộ $m+n$ phiếu được bỏ một cách ngẫu nhiên.
Kết quả ông $A$ được $m$ phiếu, bà $B$ được $n$ phiếu. $(m>n)$
Tính xác suất để ở mọi thời điểm diễn ra cuộc bầu cử, số phiếu của ông $A$ luôn trội hơn hay chí ít là bằng số phiếu của bà $B$.
Gọi $u_k$ và $v_k$ lần lượt là số phiếu bầu mà ông $A$ và bà $B$ nhận được sau khi có $k$ cử tri bỏ phiếu ($0\leqslant k\leqslant m+n$)
Đặt $f(k)=u_k-v_k$.Ta có $f(0)=0$ ; $f(m+n)=m-n$
Biểu diễn trên hệ trục tọa độ $Oxy$, ta có điểm $O(0;0)$ ứng với thời điểm trước giờ bầu cử ; điểm $Z(m+n;m-n)$ ứng với thời điểm kết thúc
Vì mỗi cử tri chỉ bỏ $1$ phiếu nên $\left | f_{k+1}-f_k \right |=1,\forall k$
Nối tất cả các điểm tương ứng khi $k$ chạy từ 0 đến m+n, ta có "đường đi" từ $O$ đến $Z$ (gồm m+n đoạn, mỗi đoạn có độ dài $\sqrt{2}$, có thể đi lên hay đi xuống)
+ Số "đường đi" có thể có từ $O$ đến $Z$ là $M=C_{m+n}^n$ (vì có tất cả m+n đoạn, trong đó có $n$ đoạn đi xuống)
Nhận xét rằng nếu "đường đi" có điểm chung với đường thẳng $(d):y=-1$ thì có nghĩa là trong quá trình bầu cử có thời điểm $u_k< v_k$.Gọi số "đường đi" có điểm chung với đường thẳng $d$ là $N$.Ta cần tính $N$.
Gọi $C(0;-2)$ là điểm đối xứng với $O(0;0)$ qua đường thẳng $(d):y=-1$.Dễ thấy rằng số "đường đi" từ $O$ đến $Z$ có điểm chung với $d$ cũng chính là số "đường đi" từ $C$ đến $Z$, tức là bằng $C_{m+n}^{n-1}$ (vì từ $C$ đến $Z$ có m+1 đoạn đi lên và n-1 đoạn đi xuống)
Vậy $N=C_{m+n}^{n-1}$
Gọi $K$ là biến cố cần tính xác suất.Ta có :
+ $n(\Omega )=M.m!n!$
+ $n(K)=(M-N).m!n!$
Xác suất cần tính là :
$P(K)=\frac{n(K)}{n(\Omega )}=\frac{M-N}{M}=\frac{C_{m+n}^n-C_{m+n}^{n-1}}{C_{m+n}^n}=\frac{(m+1)-n}{m+1}=\frac{m-n+1}{m+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-02-2017 - 16:35
- hxthanh yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh