Chủ đề này có 2 trả lời

[dungxibo123]

cho $a,b,c>0$ chứng minh răng $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}} \geq \frac{3}{2}(\frac{\sum a^{3}}{\sum a^{2}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungxibo123: 16-02-2017 - 13:33

[9nho10mong]

cho $a,b,c>0$ chứng minh răng $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}} \geq \frac{3}{2}(\frac{\sum a^{3}}{\sum a^{2}})$

 

Ta có

$$ \sum \frac{a^3}{b^2+c^2} - \frac{3 \sum a^3}{2 \sum a^2} = \frac{  \sum \left( a+b \right) \left( a^6+ca^5+a^4 bc + 2 a^4b^2 + a^3b^2c+a^3b^3+a^3bc^2 + 2 a^2b^4 + a^2b^3c + a^2b^2c^2+ab^4c+ab^3c^2+b^6 + b^5c \right) \left( a-b \right)^2 }{2 \left( a^2+b^2+c^2 \right) \left( a^2+b^2 \right) \left( b^2+c^2 \right) \left( c^2+a^2 \right) } \ge 0 $$

Từ đó có điều cần chứng minh.

[Nguyenhuyen_AG]

cho $a,b,c>0$ chứng minh răng $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}} \geq \frac{3}{2}(\frac{\sum a^{3}}{\sum a^{2}})$

 

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

\[\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}} \geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+c^3(a^2+b^2)},\]

và

\[2(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2) - 3\displaystyle \sum a^3(b^2+c^2) = \sum (a+b)(a^2+ab+b^2)(a-b)^2 \geqslant 0.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.