PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ MỘT ẨN SỐ
Từ thế kỷ 20 trước Công nguyên, người dân thành Babylon đã biết giải phương trình bậc hai. Nhưng phải đến thế kỷ 16 sau Công nguyên, các nhà toán học của thời Phục hưng: Tartaglia, Cardano, Ferrari, mới tìm ra lời giải cho phương trình bậc ba và bậc bốn. Đầu thế kỷ 19, Abel và Galois, hai thiên tài toán học bạc mệnh, chứng minh nghiệm của phương trình đại số tổng quát bậc từ năm trở đi, không thể biểu diễn được như một biểu thức đại số với căn thức như trong trường hợp đa thức bậc không quá bốn. Công trình của Galois, viết ra như lời trăng trối trước giờ đấu súng, sau đó được xem như mốc khai sinh của Đại số hiện đại.
Lý thuyết Galois hiện đại được phát biểu trên cơ sở các khái niệm mở rộng trường và nhóm Galois. Những khái niệm này không dễ nắm bắt. Mục đích của bài viết này là giúp những người mới học nắm bắt những khái niệm đó, thông qua việc tìm hiểu mô thức mà chúng xuất hiện trong quá trình tìm nghiệm của những phương trình đại số cụ thể.
Người viết cho rằng hầu hết khái niệm tưởng như trừu tượng đều có cội nguồn ở những thao tác toán học cụ thể và thông dụng. Người viết cũng cho rằng chỉ khi được nâng lên tầm khái niệm, các thao tác toán học mới trở thành những công cụ tư duy thật sự mạnh mẽ. Câu chuyện sắp kể về ý thuyết Galois có thể xem như một minh chứng. Để hiểu bài viết này, người đọc cần một số kiến thức cơ bản về đại số tuyến tính, trong đó đặc biệt quan trọng là khái niệm chiều của không gian vector.
1. Lịch sử của bài toán
Vào thế kỷ thứ bảy trước công nguyên, lời giải cho phương trình bậc hai tổng quát
Phương trình bậc ba tổng quát cũng được người Babylon nghiên cứu. Người Hy lạp cổ đại đã thử xây dựng nghiệm phương trình bậc ba bằng thước kẻ và compa nhưng không thành công. Nhà toán học Trung Hoa Wang Xiaotong đưa ra lời giải cho 27 phương trình bậc ba khác nhau, nhưng không đưa ra phương pháp để giải phương trình bậc ba tổng quát. Đáng kể nhất là phát hiện của nhà thơ người Ba tư Omar Khayyam sống vào thế mười một. Ông chứng minh rằng nghiệm có thể xây dựng nghiệm phương trình bậc ba bằng cách lấy giao hai đường conic. Ngoài ra, ông phát biểu rằng không thể xây dựng nghiệm phương trình bậc ba chỉ bằng thước kẻ và compa. Omar Khayyam không đưa ra một công thức cho nghiệm của phương trình bậc ba giống như công thức (2) cho phương trình bậc hai.
Phải chờ đến thời kỳ phục hưng, nhà toán học Tartaglia, sống ở Ý vào thế kỷ thứ mười sáu, mới đưa ra công thức tổng quát đầu tiên cho nghiệm của phương tình bậc ba
$$\begin{equation} ax^3+bx^2+cx+d=0 \end{equation}$$
ở dạng
với $\Delta_0, \Delta_1$ là các đa thức tường minh với biến số $a, b, c, d$. Lời giải cho phương trình bậc ba quả là rắc rối, nhưng lời giải cho phương trình bậc bốn của Ferrari còn rắc rối hơn nhiều.
Nhà toán học Joseph Lagrange, người Ý, là người đưa ra một phương pháp chung để giải cả phương trình bậc ba và bậc bốn. Phương pháp của Lagrange dưạ trên khái niệm giải thức mà chúng ta sẽ xem xét kỹ lưỡng. Ruffini đã nghiên cứu phương pháp của Lagrange và nhận thấy rằng nó không thể mở rộng ra cho phương trình có bậc năm và bậc cao hơn nữa.
Abel là người đầu tiên đưa ra chứng minh chặt chẽ và khẳng định phương trình bậc năm tổng quát không thể giải được bằng căn thức. Định lý Abel-Ruffini cũng được Galois, một nhà toán học người Pháp, chứng minh một cách độc lập. Nhưng ông đi xa hơn Abel và đưa ra một khái niệm có tính chất cách mạng, đó là nhóm Galois.
2. Về phát biểu của bài toán
Bài toán ta quan tâm chính là việc biểu diễn nghiệm của phương trình đa thức
$$\begin{equation} a_0x^n+a_1x^{n-1}+...=0 \end{equation}$$
dưới dạng một biểu thức với biến số $a_0, a_1, ...$ mà trong đó ta được quyền dùng bốn phép toán thông thường và căn thức.
Để hiểu rõ thế nào là biểu diễn được dưới dạng một biểu thức như thế, ta sẽ cần khái niệm trường và mở rộng trường. Ví dụ như các biểu thức với biến số $a_0, a_1, ... a_n$ mà chỉ dùng bốn phép toán thông thường và với hệ số hữu tỉ, là trường sinh ra bởi $a_0, a_1, ..., a_n$. Câu hỏi biểu diễn nghiệm bằng căn thức thực ra vẫn không chuẩn. Thật vậy phương trình bậc $n$ có thể có tới $n$ nghiệm cho nên để hết mập mờ cần làm rõ ta muốn biểu diễn nghiệm nào trong số $n$ nghiệm đó. Dĩ nhiên trong công thức (2), dấu $\pm$ cho phép ta biểu diễn cả nghiệm của (1). Trong khi đó, công thức của Tartaglia (5) dường như cho ta sáu nghiệm khác nhau của phương trình bậc ba, cái rõ ràng là không thể.
Thực ra ta không có cách nào để chọn một trong $n$ nghiệm của phương trình (6). Khái niệm nhóm Galois sinh ta chính là để lượng hoá sự mập mờ này. Ngược lại, như ta sẽ phân tích, cấu trúc của nhóm Galois sẽ quyết định việc phương trình (6) có thể giải được bằng căn thức hay không.
3. Mở rộng bậc hai
Để giải phương trình bậc hai (1), ta thực hiện phép đổi biến $y=x+\frac{a}{2}$ . Sau khi đổi biến, phương trình (1) để quy về dạng đơn giản hơn
$$\begin{equation} y^2-d=0 \end{equation}$$
Ta có thể coi đây là một cái mẹo để quy phương trình bậc hai tổng quát (1) về phương trình bậc hai rút gọn (7). Ta cũng có thể thay đổi quan điểm: Không quan tâm đến việc tìm ra dạng chính xác (2) của nghiệm nữa, mà chỉ quan tâm đến việc nghiệm có thể biểu diễn dưới dạng biểu thức đại số của $\sqrt{d}$. Lập luận có thể sẽ phức tạp hơn, nhưng sẽ mở ra cho ta một tầm nhìn mới.
Để làm đơn giản vấn đề, giả sử các hệ số $a, b$ là số hữu tỉ. Ta biết rằng trong $\mathbb{C}$, phương trình (1) có hai nghiệm. Ta sẽ ký hiệu $\alpha_1 \in \mathbb{C}$ là một trong hai nghiệm của nó. Giả sử $\alpha_1 \notin \mathbb{C}$, khi đó tập các số phức có dạng
$$L=\{m+n\alpha_1|m,n \in \mathbb{Q}\}$$
là một không gian vector hai chiều trên $\mathbb{Q}$. Từ đẳng thức
$$\alpha_1^2 = -(a\alpha_1+b)$$
ta suy ra rằng nếu $u, v \in L$ thì $uv\in L$. Ta cũng có thể chứng minh rằng nếu $u\in L\setminus \{0\}$ thì $u^{-1} \in L$. Như vậy $L$ là một trường con của $\mathbb{C}$. Nếu xem như không gian vector trên $\mathbb{Q}$, nó có chiều bằng 2. Vì thế ta nói rằng $L$ là một mở rộng bậc hai của $\mathbb{Q}$. Ta để ý thấy nghiệm còn lại, ký hiệu là $\alpha_2$, của đa thức
$$P=x^2+ax+b$$
cũng nằm trong $L$. Thật vậy, đa thức bậc hai $P$ đã có một nghiệm \alpha_1\in L$, nghiệm còn lại $\alpha_2$ cũng phải nằm trong $L$ và cũng không là số hữu tỉ. Nói cách khác, mở rộng bậc hai sinh bởi $\alpha_1$, trùng với mở rộng bậc hai sinh bởi $\alpha_2$
$$\{m+n\alpha_2|m, n \in \mathbb{Q}\}$$
Suy từ (2) ra thì cả mở rộng bậc hai sinh bởi $\alpha_1$ hay $\alpha_2$ đều trùng với mở rộng bậc hai sinh bởi căn bậc hai của biệt thức
$$\begin{equation} \mathbb{Q}[\sqrt{d}]=\{m+n\sqrt{d}|m, n \in \mathbb{Q}\} \end{equation}$$
Đây cũng là một cách để diễn đạt việc cả $\alpha_1$ và $\alpha_2$ đều có thể viết được dưới dạng có dạng $m+\sqrt{d}$ với $m, n \in \mathbb{Q}$.
Định lý 1. Cho $P \in \mathbb{Q}[x]$ là một đa thức bậc hai bất khả quy, $L$ là mở rộng bậc hai của $\mathbb{Q}$ sinh bởi một trong các nghiệm của $P$. Khi đó $L =\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ với $d=a^2-4b$
Dễ thấy rằng, nếu $L$ là mở rộng bậc hai của $\mathbb{Q}$ , khi đó mỗi phần tử $\alpha \in L - \mathbb{Q}$ là nghiệm của một phương trình bất khả quy bậc hai nào đó. Vì thế ta có thể phát biểu lại định lý trên ở dạng cô đọng hơn:
Định lý 2. Mọi mở rộng bậc hai của $\mathbb{Q}$ đều có dạng $L =\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ với $d$ là một số hữu tỉ nào đó.
Mở rộng ra phương trình bậc cao hơn, ta có thể định nghĩa rành rọt khái niệm phương trình giải được bằng căn thức.
4. Phương trình giải được bằng căn thức
Từ nay trở đi, ta sẽ thay trường các số hữu tỉ bởi một trường $K$ bất kỳ. Thay cho trường các số phức, ta cho trước một trường đóng đại số chứa $K$. Xin nhắc lại rằng trường $\overline{K}$ được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức $P\in \overline{K[x]}$ bậc $n$ đều có đúng $n$ nghiệm trong $K$, nếu ta đếm cả bội. Ta sẽ chỉ xét tới các mở rộng của $K$ chứa trong $\overline{K}$.
Đa thức bậc $n$
$$P=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n \in K[x]$$
được gọi là bất khả quy nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn. Giả sử $P$ là một đa thức bậc $n$ bất khả quy. Với mỗi nghiệm $\alpha \in \overline{K}$ của $P$, ta đặt
$$\begin{equation} K[\alpha]=\{m_0+m_1\alpha+\cdots+m_{n-1}\alpha^{n-1}|m_0,...,m_{n-1}\in K\} \end{equation}$$
Sử dụng đẳng thức $\alpha^n=-\left(a_1\alpha^{n-1}+\cdots+a_n \right )$, ta chứng minh được rằng nếu $u,v \in K[\alpha]$ thì $uv \in K[\alpha]$. Ngoài ra, nếu $u \in K[\alpha] - \{0\}$ thì $u^-1 \in K[\alpha]$. Nói cách khác, $K[\alpha]$ là một trường con của $K$. Sử dụng giả thiết $P$ là đa thức bất khả quy, ta chứng minh được rằng $K[\alpha]$, xem như không gian vector trên trường $K$, có chiều bằng $n$. Nói cách khác, $K[\alpha]$ là một mở rộng bậc $n$ của $K$. Ta nói nghiệm $\alpha$ có thể biểu diễn được bằng biểu thức đại số với căn thức nếu tồn tại một chuỗi mở rộng trường liên tiếp
$$\begin{equation} K=K_0\subset K_1 \subset K_2 \subset \cdots \subset K_r \end{equation}$$
sao cho với mọi $i \in \{1, 2, ..., r\}, K_i$ là một mở rộng bậc $n_i$ của $K_{i-1}$ có dạng
$$K_i \simeq K_{i-1}[x]/(x^{n_i}-\beta_i)$$
và sao cho $K[\alpha] \in K_r$.
Khái niệm mở rộng trường đã cho phép ta phát biểu rành rọt câu hỏi liệu nghiệm $\alpha$ của $P$ có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp đại số và căn thức hay không. Nó còn cho phép ta đặt ra những câu hỏi khác, sâu sắc hơn, về nghiệm của đa thức.
5. Phụ thuộc đại số giữa các nghiệm
Như ở trên, ta vẫn ký hiệu $P \in K[x]$ là một đa thức bất khả quy bậc $n$, và $\alpha$ là một nghiệm của $P$ trong $\overline{K}$, $K[\alpha]$ là mở rộng bậc $n$ của $K$ bao gồm các tổ hợp đại số của $\alpha$ như (9). Khác với trường hợp bậc 2, khi $n \geq 3$, nếu $\alpha_1$ và $\alpha_2$ là hai nghiệm khác nhau của $P$, các trường con $K[\alpha_1]$ và $K[\alpha_2]$ của $\overline{K}$, có thể là khác nhau, như ta thấy trong ví dụ sau đây.
Xét trường hợp $K = \mathbb{Q}$ và đa thức $P = x^3 - 2$. Nếu $\alpha \in \overline{K}$ là một nghiệm của $P$ thì hai nghiệm còn lại sẽ là $j\alpha$ và $j^2 \alpha$. Ở đây ta sử dụng ký hiệu
$$\begin{equation} j = \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3} \end{equation}$$
là căn bậc ba nguyên sơ của đơn vị. Dễ thấy $\mathbb{Q}[\alpha] \neq mathbb{Q}[j\alpha]$ vì nếu dấu bằng xảy ra thì ta sẽ có $j \in \mathbb{Q}[\alpha]$. Mặt khác, mở rộng $\mathbb{Q}[j]$ là mở rộng bậc 2 của $\mathbb{Q}$ vì $j$ là nghiệm của đa thức bậc hai $x^2 + x + 1$, cho nên nó không thể nằm trong một mở rộng bậc ba. Thật vậy, nếu $\mathbb{Q}[j] \subset \mathbb{Q}[\alpha]$ thì $\mathbb{Q}[\alpha]$ sẽ là một không gian vector trên trường $\mathbb{Q}[j]$, cho nên chiều của nó như không gian vector trên $\mathbb{Q}$ phải là một số chẵn. Trong trường hợp này, các mở rộng bậc ba ứng với 3 nghiệm của $P = x^3 - 2$ là đôi một khác nhau:
$$\begin{equation} \mathbb{Q}[\alpha] \neq \mathbb{Q}[j\alpha] \neq \mathbb{Q}[j^2\alpha] \end{equation}$$
Khi $K = \mathbb{Q}[j], \, P = x^3 - 2$ vẫn là đa thức bậc ba bất khả quy trong $K[x]$. Nhưng khi đó các mở rộng bậc ba của $K$ ứng với 3 nghiệm của $P = x^3 - 2$ là trùng nhau:
$$\begin{equation} K[\alpha]=K[j\alpha]=K[j^2\alpha] \end{equation}$$
Ta nhận thấy ở trường hợp đầu, $\alpha$ và $j\alpha$ không phụ thuộc đại số với nhau so với trường cơ sở k = \mathbb{Q}$. Nói cách khác $j\alpha$ không thể biểu diễn được như tổ hợp đại số của $\alpha$ với hệ số hữu tỉ. Tuy vậy, nếu ta mở rộng trường cơ sở thành $K = \mathbb{Q}[j]$, thì $\alpha$ và $j\alpha$ trở nên phụ thuộc đại số.
Ví dụ này đưa ta đến với khái niệm trường phân rã của một đa thức bất khả quy. Trường phân rã của một đa thức là công cụ để đo sự phụ thuộc đại số giữa các nghiệm của nó. Trường phân rã sẽ lớn nếu các nghiệm có ít quan hệ đại số, trường phân rã sẽ nhỏ nếu các nghiệm có nhiều quan hệ đại số. Đa thức bất khả quy $P \in K[x]$ bậc $n$ được gọi là tách được nếu nó có $n$ nghiệm đôi một khác nhau trong $K$. Trong trường hợp đặc số không, mọi đa thức bất khả quy đều tách được. Trong trường hợp đặc số $p>0$, có những đa thức bất khả quy nhưng không tách được. Trong bài này, ta sẽ chỉ xét đến những đa thức bất khả quy tách được.
Cho $P \in K[x[$ là một đa thức bất khả quy bậc $n$ tách được có hệ số đầu bằng một. Ta ký hiệu $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n \in \overline{K}$ là các nghiệm của $P$, và gọi trường phân rã của $K$ là trường con của $\overline{K}$ sinh bởi $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$. Trong vành đa thức $L[x]$, đa thức $P$ phân rã hoàn toàn
$$P=(x-\alpha_1)...(x-\alpha_n)$$
thành tích các thừa số bậc một.
Để làm rõ ý này, ta thực hiện một khảo sát. Ký hiệu $L$ là trường phân rã của $P$, khi đó $L$ là trường con cực tiểu chứa tất cả các trường con $K[\alpha_1], K[\alpha_2], ..., K[\alpha_n]$, còn gọi là compositum của $K[\alpha_1], K[\alpha_2], ..., K[\alpha_n]$. Ký hiệu $L_i$ là compositum của $K[\alpha_1], K[\alpha_2], ..., K[\alpha_n]$, khi đó ta có chuỗi mở rộng trường liên tiếp
$$K = L_0 \subset L_1 \subset \cdots \subset L_n = L$$
Ký hiệu $l_i$ là bậc của mở rộng $L_i/L_{i-1}$. Trường phân rã $L$ là mở rộng bậc $l_1, l_2, ..., l_n$ của $K$. Các số nguyên $l_1, l_2, ..., l_n$ phản ánh mức độ phụ thuộc đại số giữa các nghiệm $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$. Ta có thể khảo sát chúng tuần tự như sau
• Vì $P$ là một đa thức bất khả quy bậc $n$ cho nên $L_1$ là mở rộng bậc $l_1 = n$ của $L_0$.
• Xét mở rộng tiếp theo $L_2/L_1$. Đa thức $P$ xem như phần tử của $L_1[x]$ không còn bất khả quy nữa, mà có thể phân tích được thành
$$P=(x-\alpha_1)Q$$
Thành phần $Q$ có thể là đa thức bất khả quy, có thể không.
• Nếu $Q$ là một đa thức bất khả quy, bậc $n-1$, thì $L_2$ sẽ là một mở rộng bậc $l_2=n-1$ của $L_1$. Trong trường hợp này, $\alpha_1$ và $\alpha_2$ không có quan hệ đại số gì với nhau.
• Nếu $Q \in L_1[x]$ không phải đa thức bất khả quy, ta có thể phân tích nó thành $Q = Q_2Q_3$ với $Q_2$ là đa thức bất khả quy có nghiệm là $\alpha_2$. Khi đó $L_2$ là mở rộng của $L_1$ có bậc $l_2$ bằng với bậc của đa thức $Q_2$. Trong trường hợp này $\alpha_1$ và $\alpha_2$ có phụ thuộc đại số.
• Tiếp tục với mở rộng $L_3/L_2$ . . .
Qua khảo sát này ta thấy $l_1 > l_2 > \cdots$ là một dãy số nguyên giảm thật sự và từ đó suy ra $l_1 \cdots l_n \leq n!$. Dãy số này đo mức độ phụ thuộc đại số giữa các nghiệm $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ của $P$.
(còn tiếp)
