Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx=6. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
lylymaymac

lylymaymac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Cho x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx=6. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là



#2
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

Bài này là câu cuối của đề Tuyển Sinh và lớp 10 Chuyên, ĐHKHTN Hà Nội, năm 2003-2004 (Vòng 1).

Cách 1: 

$x^{2}+1\geq 2x;y^{2}+1\geq 2y;z^{2}+1\geq 2z;2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\geq 2(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+xz)=6\Rightarrow P\geq 3$

Min P = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Cách 2:

$6=x+y+z+xy+yz+xz\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Đặt t = $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 

$\Rightarrow (t+2\sqrt{3})(t-\sqrt{3})\geq 0\Rightarrow t\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow P=t^{2}\geq 3$

Min P = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh