Cho x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx=6. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là
Cho x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx=6. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là
Bắt đầu bởi lylymaymac, 17-02-2017 - 00:02
#1
Đã gửi 17-02-2017 - 00:02
#2
Đã gửi 17-02-2017 - 11:16
Bài này là câu cuối của đề Tuyển Sinh và lớp 10 Chuyên, ĐHKHTN Hà Nội, năm 2003-2004 (Vòng 1).
Cách 1:
$x^{2}+1\geq 2x;y^{2}+1\geq 2y;z^{2}+1\geq 2z;2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\geq 2(xy+yz+xz)$
$\Rightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+xz)=6\Rightarrow P\geq 3$
Min P = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Cách 2:
$6=x+y+z+xy+yz+xz\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$
Đặt t = $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
$\Rightarrow (t+2\sqrt{3})(t-\sqrt{3})\geq 0\Rightarrow t\geq \sqrt{3}$
$\Rightarrow P=t^{2}\geq 3$
Min P = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh