Chủ đề này có 3 trả lời

[Nghiapnh1002]

Tìm tất cả các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ phương trình

$x^{2}=2\left ( z+y \right )$ và $x^{6}=y^{6}+z^{6}+31\left (y^{2}+z^{2} \right )$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 17-02-2017 - 20:25

[trambau]

Tìm tất cả các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ phương trình

$x^{2}=2\left ( x+y \right )$ và $x^{6}=y^{6}+z^{6}+31\left (y^{2}+z^{2} \right )$ 

đề sai rồi kìa. chỗ đó phải là z+y mới đúng

[Nghiapnh1002]

Biết thì giải giùm đi bạn.

P/s: Đã fix

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 17-02-2017 - 20:32

[NHoang1608]

Tìm tất cả các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ phương trình

$x^{2}=2\left ( z+y \right )$ và $x^{6}=y^{6}+z^{6}+31\left (y^{2}+z^{2} \right )$ 

Solution:Từ gt suy ra : $8(y+z)^{3}=y^{6}+z^{6}+31(y^{2}+z^{2})$.

Ta có bđt phụ quen thuộc như sau: $a^{3}+b^{3}\geq \frac{(a+b)^{3}}{4}$ với a, b là các số thực dương.

Áp dụng bđt trên và sử dụng bđt AM-GM thì ta có:

$y^{6}+z^{6}+31(y^{2}+z^{2})\geq \frac{(y^{2}+z^{2})^{3}}{4}+\frac{31}{2}(y+z)^{2}$

$\Rightarrow  8(y+z)^{3}\geq \frac{(y+z)^{6}}{32}+\frac{31}{2}(y+z)^{2}$

$\Rightarrow 256(y+z)^{3}\geq (y+z)^{6}+496(y+z)^{2}$ $(1)$

Đặt $y+z=a$  với a là số nguyên dương.

Khi đó từ $(1)$ suy ra: $256a^{3}\geq a^{6}+496a^{2}$ 

                                 $\Rightarrow  256a\geq a^{4}+496$ $(2)$

Ap dụng bđt AM-GM ta được: $a^{4}+496\geq 8\sqrt{31}a^{2}$ $(3)$

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra $\frac{256}{8\sqrt{31}}\geq a$

suy ra $a\leq 5,74$ mà $a$ nguyên dương và $y\geq1$, $z\geq1$ nên $a\in \left \{ 2;3;4;5 \right \}$

Mặt khác nếu $a$ lẻ thì suy ra $x^{2}\equiv 2 (mod4)$ (vô lí) suy ra $a=2$ hoặc $a=4$.

Xét $a=2$: suy ra $y=z=1$ (vì $y,z\geq 1$) từ đây suy $x=2$. Thử lại đúng

Xét $a=4$: suy ra $ x^{2}=8$ (vô lí).

Vậy hệ chỉ có 1 nghiệm nguyên dương duy nhất $(x;y;z)$ là $(2;1;1)$             

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 05-03-2017 - 20:21