Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Min $A= \sum \frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 ThachAnh

ThachAnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Ngắm mưa

Đã gửi 18-02-2017 - 10:12

Cho x,y,z thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm min: $A=\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}+\frac{y^{3}}{(1-y^{4})^{2}}+\frac{z^{3}}{(1-z^{4})^{2}}$


"Knowledge knows no country but the learner must know the Fatherland".

                                                                                               (Louis Pasteur)


#2 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 346 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 26-02-2017 - 00:42

Cho x,y,z thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm min: $A=\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}+\frac{y^{3}}{(1-y^{4})^{2}}+\frac{z^{3}}{(1-z^{4})^{2}}$

Mình nghĩ đề điều kiện là $x,y,z>0$

Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có:

$A\geq \frac{1}{3}\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )(\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}})$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ có:

$\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{1 }{1-x^{4}} \right )^{2}$

Do đó,

$A\geq \frac{1}{9}\left ( \sum x^{3} \right )\left ( \frac{1}{1-x^{4}} \right )^{2}$

Lại áp dụng $Holder$ ta có:

$(1+1+1)(x^{3}+y^{3}+z^{3})\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}=1$

$\Rightarrow \sum x^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Mà theo $Cauchy-Schwarz$ có,

$(\sum \frac{1}{1-x^{4}})^{2}\geq \left ( \frac{9}{3-\sum x^{4}} \right )^{2}\geq \left ( \frac{9}{3-\frac{1}{3}(\sum x^{2})^{2}} \right )^{2}= \frac{729}{64}$

Do đó,

$A\geq \frac{27\sqrt{3}}{64}$

Vậy $A_{min}=\frac{27\sqrt{3}}{64}$

Dấu$"="$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt {3}}$

 Cách khác:

Sử dụng bất đẳng thức $Jensen$.

Nhưng mà đi thi dùng thì chắc người ta không chấp nhận nên thôi vậy.'

 

 

 

P/s:Học hơi ngu $BĐT$ nên có gì sai xin chỉ giáo.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 26-02-2017 - 18:43

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#3 Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nam
  • Sở thích:Math, Geography and Literature

Đã gửi 26-02-2017 - 12:29

Mình nghĩ đề điều kiện là $x,y,z>0$

Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có:

$A\geq \frac{1}{3}\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )(\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}})$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ có:

$\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{1 }{1-x^{4}} \right )^{2}$

Do đó,

$A\geq \frac{1}{9}\left ( \sum x^{3} \right )\left ( \frac{1}{1-x^{4}} \right )^{2}$

Lại áp dụng $Chebyshev$ ta có:

$(1+1+1)(x^{3}+y^{3}+z^{3})\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}=1$

$\Rightarrow \sum x^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Đoạn này mình tưởng là Holder


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Subtract Zero: 26-02-2017 - 12:30

Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#4 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 346 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 26-02-2017 - 12:30

Đoạn này mình tưởng là Holder

Ak` uk

Mình hơi nhầm.

Muộn quá rồi nên dễ viết nhầm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 26-02-2017 - 18:45

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#5 Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nam
  • Sở thích:Math, Geography and Literature

Đã gửi 26-02-2017 - 12:41

Ak` uk

Mình hơi nhầm.

Muộn qua rồi nên dễ viết nhầm.

Bây giờ tỉnh rồi chắc bạn nhận ra viết sai dấu bằng rồi chứ? :D


Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#6 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-02-2017 - 14:31

Cho x,y,z thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm min: $A=\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}+\frac{y^{3}}{(1-y^{4})^{2}}+\frac{z^{3}}{(1-z^{4})^{2}}$

 

Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau đây là đủ

\[\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}} \geqslant \frac{9\sqrt{3}}{64}(6x^2-1).\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#7 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 346 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 26-02-2017 - 18:44

Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau đây là đủ

\[\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}} \geqslant \frac{9\sqrt{3}}{64}(6x^2-1).\]

Tại sao anh Huyện lại nghĩ ra cái này được ạ


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#8 sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT AN Dương- Hải Phòng
  • Sở thích:Con gái , BDT :))

Đã gửi 26-02-2017 - 19:22

Tại sao anh Huyện lại nghĩ ra cái này được ạ

cái này là phương phap tiếp tuyến.Nếu chưa học tới thì bn học tạm U,C,T tại đây:https://diendantoanh...chứng-minh-bdt/


Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh