Chủ đề này có 4 trả lời

[doremon01]

a) Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên $a$ sao cho $(a,p)=1$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $a^n+n \equiv 0(mod p)$.

b) Tồn tại hay không 2 số nguyên dương $a,b$ phân biệt sao cho $(b^n+n)\vdots (a^n+n)$.

[manhhung2013]

a, n=(a+1)(p-1)
b, áp dụng câu a => không tồn tại

[IHateMath]

a, n=(a+1)(p-1)
b, áp dụng câu a => không tồn tại

a. Như bạn nói, chọn $n=(a+1)(p-1)$. Khi đó ta có $a^n=(a^{p-1})^{a+1}\equiv 1$ (mod $p$) theo định lý Fermat nhỏ. Mặt khác $n=(a+1)(p-1)=(a+1)p-(a+1)\equiv -(a+1)$ (mod $p$). Như vậy

$a^n\equiv -n$ (mod $p$) $\Longleftrightarrow 1\equiv (a+1)$ (mod $p$) $\Longleftrightarrow 0\equiv a$ (mod $p$)???

[IHateMath]

Lời giải đúng: xem ở link: https://www.artofpro...munity/c6h81371. Bài toán b. chính là Bài N6 của IMO 2005 Shortlist.

[manhhung2013]

Đây cũng chính là bài thi trong đề thi hsg 30/4 /2016