Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
doremon123

doremon123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3

Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$



#2
Nhok Tung

Nhok Tung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3

Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}=\frac{x\sqrt{y+2}}{\sqrt{(x^{2}+y+z^{2})(1+y+1)}}\leq \frac{x\sqrt{y+2}}{x+y+z}$

Do đó $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}\leq \frac{\sum x\sqrt{y+2}}{x+y+z} =\frac{\sum x\sqrt{y+2}}{3}$

Ta chứng minh $\sum x\sqrt{y+2}\leq 3\sqrt{3}$ (*)

Ta có $x\sqrt{y+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{y+2}\sqrt{3}\leq \frac{xy+5x}{2\sqrt{3}}$ (Theo BĐT AM-GM)

Cộng vế theo vế, kết hợp với $\sum xy\leq \frac{\sum x}{3}=3$ suy ra (*) được chứng minh

Từ đó suy ra $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$ $\leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1


                        $\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$

                                          


#3
doremon123

doremon123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}=\frac{x\sqrt{y+2}}{\sqrt{(x^{2}+y+z^{2})(1+y+1)}}\leq \frac{x\sqrt{y+2}}{x+y+z}$

Do đó $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}\leq \frac{\sum x\sqrt{y+2}}{x+y+z} =\frac{\sum x\sqrt{y+2}}{3}$

Ta chứng minh $\sum x\sqrt{y+2}\leq 3\sqrt{3}$ (*)

Ta có $x\sqrt{y+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{y+2}\sqrt{3}\leq \frac{xy+5x}{2\sqrt{3}}$ (Theo BĐT AM-GM)

Cộng vế theo vế, kết hợp với $\sum xy\leq \frac{\sum x}{3}=3$ suy ra (*) được chứng minh

Từ đó suy ra $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$ $\leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?



#4
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?

Bạn ấy dùng bdt bunhiacopxki dạng $(ax+by+cz)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#5
Bachhh

Bachhh

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3
Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$



#6
Nhok Tung

Nhok Tung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?

BĐT Bunyakovsky đó ạ


                        $\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$

                                          





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh