Cho a2+b2+c2=3
CM: $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}} \geq a+b+c$
Cho a2+b2+c2=3
CM: $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}} \geq a+b+c$
Đặt $2(\frac{a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+a^{2}})$
Ta có $\frac{a^{2}}{a+b^{2}}= \frac{a(a+b^{2})-ab^{2}}{a+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}$
Áp dụng BĐT $cauchy$ ta có $a+b^{2}\geq 2b\sqrt{a}$
$\rightarrow a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}}=a-\frac{b\sqrt{a}}{2}$
TT $\rightarrow \frac{b^{2}}{b+c^{2}}\geq b-\frac{c\sqrt{b}}{2};\frac{c^{2}}{c+a^{2}}\geq c-\frac{a\sqrt{c}}{2}$
$\rightarrow A\geq 2(a+b+c-\frac{b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+c\sqrt{a}}{2})$
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có
$(\sqrt{b}.\sqrt{ab}+\sqrt{c}.\sqrt{bc}+\sqrt{a}.\sqrt{ac})^{2}\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\rightarrow b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}}{2}]$
Mặt khác $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\rightarrow \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}\geq \sqrt{ab+bc+ca}$
$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{2\sqrt{3}}]$
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\rightarrow (a+b+c)^{2}\leq 9\rightarrow a+b+c\leq 3\rightarrow \sqrt{a+b+c}\leq \sqrt{3}$
$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{(a+b+c)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}]= 2[a+b+c-\frac{a+b+c}{2}]= a+b+c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 19-02-2017 - 16:21
Đặt $2(\frac{a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+a^{2}})$
Ta có $\frac{a^{2}}{a+b^{2}}= \frac{a(a+b^{2})-ab^{2}}{a+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}$
Áp dụng BĐT $cauchy$ ta có $a+b^{2}\geq 2b\sqrt{a}$
$\rightarrow a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}}=a-\frac{b\sqrt{a}}{2}$
TT $\rightarrow \frac{b^{2}}{b+c^{2}}\geq b-\frac{c\sqrt{b}}{2};\frac{c^{2}}{c+a^{2}}\geq c-\frac{a\sqrt{c}}{2}$
$\rightarrow A\geq 2(a+b+c+\frac{b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+c\sqrt{a}}{2})$
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có
$(\sqrt{b}.\sqrt{ab}+\sqrt{c}.\sqrt{bc}+\sqrt{a}.\sqrt{ac})^{2}\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\rightarrow b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}}{2}]$
Mặt khác $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\rightarrow \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}\geq \sqrt{ab+bc+ca}$
$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{2\sqrt{3}}]$
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\rightarrow (a+b+c)^{2}\leq 9\rightarrow a+b+c\leq 3\rightarrow \sqrt{a+b+c}\leq \sqrt{3}$
$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{(a+b+c)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}]= 2[a+b+c-\frac{a+b+c}{2}]= a+b+c$
mình soi thấy chỗ này là dấu - ,,,bạn sửa lại đi
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
mình soi thấy chỗ này là dấu - ,,,bạn sửa lại đi
Mình nhầm một chút,đã sửa
Toán Đại cương →
Giải tích →
Chứng minh rằng u(x, y) = 2xy − x là hàm điều hòa. Tìm hàm giải tích f(z) nhận u(x, y) làm hàm phần thực.Bắt đầu bởi sinhnguyen, 25-04-2023 hàm biến phức, toán |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Toán rời rạc →
Đếm số tam giác nhiều nhất tạo bởi các đường chéo của một đa giác lồi $n$ đỉnhBắt đầu bởi Lmeo, 15-03-2023 toán, công thức |
|
|||
Thảo luận chung →
Kinh nghiệm học toán →
Như nào là mô hình hóa toán họcBắt đầu bởi Longlanhkhonglaplanh, 07-09-2022 toán |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Các thánh giúp e bài nàyBắt đầu bởi Thanhlongviemtuoc, 29-07-2019 bất đẳng thức, cực trị, toán và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Tổng hợp đề thi Toán Học lớp 7 ( đề 15 phút, đề 45 phút, đề thi học kì 1, đề thi học kì 2 )Bắt đầu bởi giasuquocduong, 11-07-2019 toán, đại số, lớp 7, kiểm tra |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh