Chủ đề này có 3 trả lời

[Khuat Dang Duong]

Cho a²+b²+c²=3

 

CM: $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}} \geq a+b+c$

[tienduc]

Đặt $2(\frac{a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+a^{2}})$

Ta có $\frac{a^{2}}{a+b^{2}}= \frac{a(a+b^{2})-ab^{2}}{a+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}$

Áp dụng BĐT $cauchy$ ta có $a+b^{2}\geq 2b\sqrt{a}$

$\rightarrow a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}}=a-\frac{b\sqrt{a}}{2}$

TT $\rightarrow \frac{b^{2}}{b+c^{2}}\geq b-\frac{c\sqrt{b}}{2};\frac{c^{2}}{c+a^{2}}\geq c-\frac{a\sqrt{c}}{2}$

$\rightarrow A\geq 2(a+b+c-\frac{b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+c\sqrt{a}}{2})$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có

$(\sqrt{b}.\sqrt{ab}+\sqrt{c}.\sqrt{bc}+\sqrt{a}.\sqrt{ac})^{2}\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\rightarrow b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}}{2}]$

Mặt khác $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\rightarrow \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}\geq \sqrt{ab+bc+ca}$

$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{2\sqrt{3}}]$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\rightarrow (a+b+c)^{2}\leq 9\rightarrow a+b+c\leq 3\rightarrow \sqrt{a+b+c}\leq \sqrt{3}$

$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{(a+b+c)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}]= 2[a+b+c-\frac{a+b+c}{2}]= a+b+c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 19-02-2017 - 16:21

[viet9a14124869]

Đặt $2(\frac{a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+a^{2}})$

Ta có $\frac{a^{2}}{a+b^{2}}= \frac{a(a+b^{2})-ab^{2}}{a+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}$

Áp dụng BĐT $cauchy$ ta có $a+b^{2}\geq 2b\sqrt{a}$

$\rightarrow a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}}=a-\frac{b\sqrt{a}}{2}$

TT $\rightarrow \frac{b^{2}}{b+c^{2}}\geq b-\frac{c\sqrt{b}}{2};\frac{c^{2}}{c+a^{2}}\geq c-\frac{a\sqrt{c}}{2}$

$\rightarrow A\geq 2(a+b+c+\frac{b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+c\sqrt{a}}{2})$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có

$(\sqrt{b}.\sqrt{ab}+\sqrt{c}.\sqrt{bc}+\sqrt{a}.\sqrt{ac})^{2}\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\rightarrow b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}}{2}]$

Mặt khác $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\rightarrow \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}\geq \sqrt{ab+bc+ca}$

$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{2\sqrt{3}}]$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\rightarrow (a+b+c)^{2}\leq 9\rightarrow a+b+c\leq 3\rightarrow \sqrt{a+b+c}\leq \sqrt{3}$

$\rightarrow A\geq 2[a+b+c-\frac{(a+b+c)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}]= 2[a+b+c-\frac{a+b+c}{2}]= a+b+c$

mình soi thấy chỗ này là dấu - ,,,bạn sửa lại đi

[tienduc]

mình soi thấy chỗ này là dấu - ,,,bạn sửa lại đi

Mình nhầm một chút,đã sửa