5 replies to this topic

[LoveMath1234]

Cho $a,b,c,d,e>0: a+b=c+d+e$

Tìm $t$ max $(t\in \mathbb{R}):\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}\geq t.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})^2$

[Nguyenhuyen_AG]

Link: https://www.artofpro...6h164533p915981

[kienvuhoang]

Cho $a,b,c,d,e>0: a+b=c+d+e$

Tìm $t$ max $(t\in \mathbb{R}):\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}\geq t.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})^2$    (*)

Thay a=b=c=d=e vào(*) ta được $t\leq \frac{1}{5\sqrt{5}}$

Thay t=\frac{1}{5\sqrt{5}}vào (*).Ta cần chứng minh:\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}\geq\frac{1}{5\sqrt{5}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})^2$ 

Thật vậy ta có:$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq \frac{(a+b+c+d+e)^{2}}{5}$

$a+b+c+d+e\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})^2}{5}$

$\Rightarrow đpcm$

[LoveMath1234]

Link: https://www.artofpro...6h164533p915981

E nghĩ nếu đề bên AoPS là a,b,c,d,e không âm thì max t phải là $t= \frac{\sqrt{2}}{4}$ chứ ạ? (Dấu "=" tại a=c=e=0; b=d)

Anh thử xem lại xem

[Waiting a Magic]

Thay a=b=c=d=e vào(*) ta được $t\leq \frac{1}{5\sqrt{5}}$

Thay t=\frac{1}{5\sqrt{5}}vào (*).Ta cần chứng minh:\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}\geq\frac{1}{5\sqrt{5}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})^2$ 

Thật vậy ta có:$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq \frac{(a+b+c+d+e)^{2}}{5}$

$a+b+c+d+e\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})^2}{5}$

$\Rightarrow đpcm$

có giả thiết $a+b=c+d+e$ nữa mà nhỉ

[kienvuhoang]

có giả thiết $a+b=c+d+e$ nữa mà nhỉ

sorry mình ko để ý.

P/s:Ko đọc kĩ đề bài =)))))