Chủ đề này có 2 trả lời

[Shin Janny]

Cho $a,b,c>0$.  Chứng minh rằng:

$(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$

[PlanBbyFESN]

Cho $a,b,c>0$.  Chứng minh rằng:

$(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$

 

 

$\left\{\begin{matrix} (a^{2}+2bc)(1+\frac{2b}{c})\geq (a+2b)^{2} & \\ (c^{2}+2ab)(1+\frac{2b}{a})\geq (c+2b)^{2} & \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} (a^{2}+2bc)^2(1+\frac{2b}{c})^2\geq (a+2b)^{4} & \\ (c^{2}+2ab)(1+\frac{2b}{a})\geq (c+2b)^{2} & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow (a^{2}+2bc)^{2}(c^{2}+2ab)\geq ac^{2}(a+2b)^{3}$

 

Tương tự 2 BĐT còn lại nhân lại hạ bậc ta có ĐPCM

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c>0$.  Chứng minh rằng:

$(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$

 

Ta có

\[(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab) - abc(a+2b)(b+2c)(c+2a) = \frac23\sum bc(4a^2+2ab+3c^2)(a-b)^2 \geqslant 0.\]