Tìm Min của $M=xy-yz-zx$, với $x$, $y$, $z$, là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.
#1
Đã gửi 19-02-2017 - 10:57
#2
Đã gửi 19-02-2017 - 12:54
Tìm Min của $M=xy-yz-zx$, với $x$, $y$, $z$, là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.
Ta có
\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]
- Nghiapnh1002 yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#3
Đã gửi 19-02-2017 - 14:06
Ta có
\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]
Đây là một cách mà em mới được tham khảo ( Tam thức bậc 2 định hướng thì phải )
Trường hợp 1: Với $z=0$ , ta có $x^{2}+2y^{2}=22$ và giá trị của $M=xy$. thì ta có $\left | xy \right |$$\leq \frac{11}{\sqrt{2}}$. Nên ta có $-\frac{11}{\sqrt{2}}\leq M\leq \frac{11}{\sqrt{2}}$. Do đó, để xác định $minM$, không mất tính tổng quát , ta có thể xét $M< -\frac{11}{\sqrt{2}}$
Trường hợp 2: Với z $\neq$ 0 ta đặt $M_{0}=\frac{M}{22}, \frac{-x}{z}=\alpha , \frac{-y}{z}$ ta có:
$M_{0}=\frac{xy-yz-zx}{x^{2}+2y^{2}+5z^{2}}=\frac{\alpha\beta+\beta+\alpha}{\alpha^{2}+2\beta^{2}+5}$
Ta có phương trình:$M_{0}\alpha^{2}-\left ( \beta+1 \right )\alpha+\left ( 2M_{0}\beta ^{2}-\beta +5M_{0}\right )=0$
Có $\Delta =\left ( 1-8M_{0}^{2} \right )\beta -2\left ( 2M_{0}+1 \right )\beta +\left ( 1-20M_{0}^{2} \right )\geq 0$
Chúng ta có $1-8M_{0}^{2}<0$ với $M_{0}< -\frac{1}{2\sqrt{2}}$, do đó ta có
${\Delta }'\geq 0 \rightarrow -4M_{0}\left ( 2M_{0}-1 \right )\left ( 20M_{0}^{2}+10M_{0}+1 \right )\geq 0 \Rightarrow M_{0}\geq A=\frac{-5+\sqrt{5}}{20} \left ( M_{0}< \frac{-1}{2\sqrt{2}} \right )$
Nên cuối cùng ta có $minM=\frac{-11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10} (z=\pm\sqrt{\frac{22}{\alpha ^{2}+2\beta ^{2}+5}} , x=-\alpha z , y=-\beta z . \beta=\frac{2A+1}{8A^{2}-1} , \alpha = \frac{\beta +1}{2A}= \frac{4A+1}{8A^{2}-1} , A=-\frac{5+\sqrt{5}}{20})$
P/s : Anh Huyện có thể chỉ em cách tách thế nào là hợp lý như anh không?
\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 21-02-2017 - 19:16
#4
Đã gửi 19-02-2017 - 16:14
Ta có
\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]
theo cách của anh ,,,,ta chỉ tìm được max thôi ,,, em cũng tách thành tổng 3 bình phương nhưng lại ra max,,,ko biết có nhầm đề ko
- Nghiapnh1002 yêu thích
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
#5
Đã gửi 19-02-2017 - 16:52
Ta có
\[\begin{aligned}xy-yz-zx & + \frac{55+11\sqrt5}{10} \cdot \frac{x^{2}+2y^{2}+5z^{2}}{22} \\& = \frac{5+\sqrt5}{80}\left[2x-(\sqrt5-5)y+(\sqrt5-5)z\right]^2 + \frac{7\sqrt5-15}{80}(3z\sqrt5+5z+2y)^2 \geqslant 0.\end{aligned}\]
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{z} = 5+2\sqrt5, \;\frac{y}{z} = -\frac{3\sqrt5+5}{2},\,z \ne 0.$ Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất.
theo cách của anh ,,,,ta chỉ tìm được max thôi ,,, em cũng tách thành tổng 3 bình phương nhưng lại ra max,,,ko biết có nhầm đề ko
Em tách như thế nào?
P/s : Anh Huyện có thể chỉ em cách tách thế nào là hợp lý như anh không?
Anh tách dựa theo tam thức bậc hai.
- viet9a14124869 và Nghiapnh1002 thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#6
Đã gửi 19-02-2017 - 17:01
em tách thế này
$x^2+2y^{2}+5z^{2}-xy+yz+zx=\frac{(x+3z)^{2}}{3}+\frac{(2x-3y)^{2}}{6}+\frac{(y+2z)^{2}}{2}\geq 0\Leftrightarrow 2x=-3y=-6z$
- Nghiapnh1002 yêu thích
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
#7
Đã gửi 19-02-2017 - 17:02
Ta có
\[\begin{aligned}xy-yz-zx & + \frac{55+11\sqrt5}{10} \cdot \frac{x^{2}+2y^{2}+5z^{2}}{22} \\& = \frac{5+\sqrt5}{80}\left[2x-(\sqrt5-5)y+(\sqrt5-5)z\right]^2 + \frac{7\sqrt5-15}{80}(3z\sqrt5+5z+2y)^2 \geqslant 0.\end{aligned}\]
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{z} = 5+2\sqrt5, \;\frac{y}{z} = -\frac{3\sqrt5+5}{2},\,z \ne 0.$ Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất.
Em tách như thế nào?
Anh tách dựa theo tam thức bậc hai.
Em vẫn thắc mắc là cơ sở nào để anh nhân lượng $\frac{11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10}$ ấy vào biểu thức hay là anh dựa trên kết quả rồi nhân vào ạ !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 19-02-2017 - 17:03
#8
Đã gửi 19-02-2017 - 17:04
Em vẫn thắc mắc là cơ sở nào để anh nhân lượng $\frac{11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10}$ ấy vào biểu thức hay là anh dựa trên kết quả rồi nhân vào ạ !
chắc vẫn dùng dấu = như cậu rồi tách theo tam thưc bậc hai
- Nghiapnh1002 yêu thích
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
#9
Đã gửi 19-02-2017 - 17:24
em tách thế này
$x^2+2y^{2}+5z^{2}-xy+yz+zx=\frac{(x+3z)^{2}}{3}+\frac{(2x-3y)^{2}}{6}+\frac{(y+2z)^{2}}{2}\geq 0\Leftrightarrow 2x=-3y=-6z$
Cách này anh nghĩ dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vì phần tìm giá trị lớn nhất có thể giải bằng Cauchy-Schwarz. Anh đoán vậy thôi còn không biết em tìm nó ra thế nào.
Em vẫn thắc mắc là cơ sở nào để anh nhân lượng $\frac{11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10}$ ấy vào biểu thức hay là anh dựa trên kết quả rồi nhân vào ạ !
Xét biểu thức
\[P = xy-yz-zx+k \cdot \frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}.\]
Áp dụng công thức $ax^2+bx+c = a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{4ca-b^2}{4a}$ ta viết $P$ lại dưới dạng tam thức bậc hai theo $x$ lại như sau
\[\frac{(kx+11y-11z)^2}{22k}+\frac{2k^2y^2+5k^2z^2-22kyz-121y^2+242yz-121z^2}{22k}.\]
Tương tự ta có
\[\begin{aligned} 2k^2y^2+5k^2z^2-22kyz&-121y^2+242yz-121z^2 \\& = \frac{(2k^2y-11kz-121y+121z)^2}{2k^2-121}+\frac{2k(k+11)(5k^2-55k+121)z^2}{2k^2-121}\end{aligned}\]
Như vậy nếu $k(k+11)(5k^2-55k+121) = 0$ tức $k = \left\{-11,\,\frac{55+11\sqrt5}{10},\,\frac{55-11\sqrt5}{10}\right\}$ thì ta có thể biểu diễn được $P$ thành tổng của các bình phương.
- Để có giá trị nhỏ nhất thì ta cần chọn $k > 0, 2k^2-121 > 0$ tức $k = \frac{55+11\sqrt5}{10}.$
- Để có giá trị lớn nhất thì $k < 0, 2k^2-121 < 0$ tức $k = -11.$
- PlanBbyFESN, Dark Magician 2k2, viet9a14124869 và 1 người khác yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh