Chủ đề này có 8 trả lời

[Nghiapnh1002]

Tìm Min của $M=xy-yz-zx$, với $x$, $y$, $z$, là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.

[Nguyenhuyen_AG]

Tìm Min của $M=xy-yz-zx$, với $x$, $y$, $z$, là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.

 

Ta có

\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]

[Nghiapnh1002]

Ta có

\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]

Đây là một cách mà em mới được tham khảo ( Tam thức bậc 2 định hướng thì phải )

Trường hợp 1: Với $z=0$ , ta có $x^{2}+2y^{2}=22$ và giá trị của $M=xy$. thì ta có $\left | xy \right |$$\leq \frac{11}{\sqrt{2}}$. Nên ta có $-\frac{11}{\sqrt{2}}\leq M\leq \frac{11}{\sqrt{2}}$. Do đó, để xác định $minM$, không mất tính tổng quát , ta có thể xét $M< -\frac{11}{\sqrt{2}}$

Trường hợp 2: Với z $\neq$ 0 ta đặt $M_{0}=\frac{M}{22}, \frac{-x}{z}=\alpha , \frac{-y}{z}$ ta có:

$M_{0}=\frac{xy-yz-zx}{x^{2}+2y^{2}+5z^{2}}=\frac{\alpha\beta+\beta+\alpha}{\alpha^{2}+2\beta^{2}+5}$

Ta có phương trình:$M_{0}\alpha^{2}-\left ( \beta+1 \right )\alpha+\left ( 2M_{0}\beta ^{2}-\beta +5M_{0}\right )=0$

Có $\Delta =\left ( 1-8M_{0}^{2} \right )\beta -2\left ( 2M_{0}+1 \right )\beta +\left ( 1-20M_{0}^{2} \right )\geq 0$

Chúng ta có $1-8M_{0}^{2}<0$ với $M_{0}< -\frac{1}{2\sqrt{2}}$, do đó ta có

${\Delta }'\geq 0 \rightarrow -4M_{0}\left ( 2M_{0}-1 \right )\left ( 20M_{0}^{2}+10M_{0}+1 \right )\geq 0 \Rightarrow M_{0}\geq A=\frac{-5+\sqrt{5}}{20} \left ( M_{0}< \frac{-1}{2\sqrt{2}} \right )$

Nên cuối cùng ta có $minM=\frac{-11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10} (z=\pm\sqrt{\frac{22}{\alpha ^{2}+2\beta ^{2}+5}} , x=-\alpha z , y=-\beta z . \beta=\frac{2A+1}{8A^{2}-1} , \alpha = \frac{\beta +1}{2A}= \frac{4A+1}{8A^{2}-1} , A=-\frac{5+\sqrt{5}}{20})$

P/s : Anh Huyện có thể chỉ em cách tách thế nào là hợp lý như anh không?

\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 21-02-2017 - 19:16

[viet9a14124869]

Ta có

\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]

theo cách của anh ,,,,ta chỉ tìm được max thôi ,,, em cũng tách thành tổng 3 bình phương nhưng lại ra max,,,ko biết có nhầm đề ko

[Nguyenhuyen_AG]

Ta có

\[\begin{aligned}xy-yz-zx & + \frac{55+11\sqrt5}{10} \cdot \frac{x^{2}+2y^{2}+5z^{2}}{22} \\& = \frac{5+\sqrt5}{80}\left[2x-(\sqrt5-5)y+(\sqrt5-5)z\right]^2 + \frac{7\sqrt5-15}{80}(3z\sqrt5+5z+2y)^2 \geqslant 0.\end{aligned}\]

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{z} = 5+2\sqrt5, \;\frac{y}{z} = -\frac{3\sqrt5+5}{2},\,z \ne 0.$ Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất.

 

theo cách của anh ,,,,ta chỉ tìm được max thôi ,,, em cũng tách thành tổng 3 bình phương nhưng lại ra max,,,ko biết có nhầm đề ko

 

Em tách như thế nào?

 

P/s : Anh Huyện có thể chỉ em cách tách thế nào là hợp lý như anh không?

 

Anh tách dựa theo tam thức bậc hai.

[viet9a14124869]

em tách thế này

$x^2+2y^{2}+5z^{2}-xy+yz+zx=\frac{(x+3z)^{2}}{3}+\frac{(2x-3y)^{2}}{6}+\frac{(y+2z)^{2}}{2}\geq 0\Leftrightarrow 2x=-3y=-6z$

[Nghiapnh1002]

Ta có

\[\begin{aligned}xy-yz-zx & + \frac{55+11\sqrt5}{10} \cdot \frac{x^{2}+2y^{2}+5z^{2}}{22} \\& = \frac{5+\sqrt5}{80}\left[2x-(\sqrt5-5)y+(\sqrt5-5)z\right]^2 + \frac{7\sqrt5-15}{80}(3z\sqrt5+5z+2y)^2 \geqslant 0.\end{aligned}\]

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{z} = 5+2\sqrt5, \;\frac{y}{z} = -\frac{3\sqrt5+5}{2},\,z \ne 0.$ Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất.

 

 

Em tách như thế nào?

 

 

Anh tách dựa theo tam thức bậc hai.

Em vẫn thắc mắc là cơ sở nào để anh nhân lượng $\frac{11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10}$ ấy vào biểu thức hay là anh dựa trên kết quả rồi nhân vào ạ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 19-02-2017 - 17:03

[viet9a14124869]

Em vẫn thắc mắc là cơ sở nào để anh nhân lượng $\frac{11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10}$ ấy vào biểu thức hay là anh dựa trên kết quả rồi nhân vào ạ !

 chắc vẫn dùng dấu = như cậu rồi tách theo tam thưc bậc hai

[Nguyenhuyen_AG]

em tách thế này

$x^2+2y^{2}+5z^{2}-xy+yz+zx=\frac{(x+3z)^{2}}{3}+\frac{(2x-3y)^{2}}{6}+\frac{(y+2z)^{2}}{2}\geq 0\Leftrightarrow 2x=-3y=-6z$

 

Cách này anh nghĩ dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vì phần tìm giá trị lớn nhất có thể giải bằng Cauchy-Schwarz. Anh đoán vậy thôi còn không biết em tìm nó ra thế nào.

 

Em vẫn thắc mắc là cơ sở nào để anh nhân lượng $\frac{11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10}$ ấy vào biểu thức hay là anh dựa trên kết quả rồi nhân vào ạ !

 

Xét biểu thức

\[P = xy-yz-zx+k \cdot \frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}.\]

Áp dụng công thức $ax^2+bx+c = a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{4ca-b^2}{4a}$ ta viết $P$ lại dưới dạng tam thức bậc hai theo $x$ lại như sau

\[\frac{(kx+11y-11z)^2}{22k}+\frac{2k^2y^2+5k^2z^2-22kyz-121y^2+242yz-121z^2}{22k}.\]

Tương tự ta có

\[\begin{aligned} 2k^2y^2+5k^2z^2-22kyz&-121y^2+242yz-121z^2 \\& = \frac{(2k^2y-11kz-121y+121z)^2}{2k^2-121}+\frac{2k(k+11)(5k^2-55k+121)z^2}{2k^2-121}\end{aligned}\]

Như vậy nếu $k(k+11)(5k^2-55k+121) = 0$ tức $k = \left\{-11,\,\frac{55+11\sqrt5}{10},\,\frac{55-11\sqrt5}{10}\right\}$ thì ta có thể biểu diễn được $P$ thành tổng của các bình phương.

• Để có giá trị nhỏ nhất thì ta cần chọn $k > 0, 2k^2-121 > 0$ tức $k = \frac{55+11\sqrt5}{10}.$ 
• Để có giá trị lớn nhất thì $k < 0, 2k^2-121 < 0$ tức $k = -11.$