Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

Tuần 3 tháng 2/2017: Chứng minh tứ giác $AKNL$ ngoại tiếp

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4257 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 19-02-2017 - 18:50

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 2/2017 đã được thầy Hùng đưa ra tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $(J)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $M$ là trung điểm $EF$. $DM$ cắt $(J)$ tại $N$ khác $D$. Trên đoạn $AE,AF$ lần lượt lấy các điểm $K,L$ sao cho $NK,NL$ tiếp xúc $(O)$. Chứng minh rằng tứ giác $AKNL$ ngoại tiếp.

 

Screen Shot 2017-02-19 at 9.49.52 PM.png


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ninh

Đã gửi 19-02-2017 - 20:55

Lời giải: Dễ thấy rằng $DA$ và $DM$ đẳng giác trong góc $\angle EDF$. Ta lại có $MD. MN= ME. MF= MA. MJ$ nên $A, D, J, N$ đồng viên. Do $JN=JD$ nên $AN, AD$ đẳng giác trong góc $\angle BAC$. Kẻ đường cao $AH$. $AD$ cắt $(J)$ tại điểm thứ hai $X$. Khi đó $NX \parallel EF$. Ta có $\angle OAN = \angle HAD = 90^{\circ} - \angle CDX = 90^{\circ} - \angle NMF = \angle ANJ$.
Do đó tồn tại đường tròn $(O')$ tiếp túc trong cả hai đường tròn $(O)$ và $(J)$.
$AJ$ cắt $ON$ tại $I$. $O'I$ cắt $AN$ tại $P$. Gọi $\alpha_1, \alpha_2$ là đường tròn tâm $I$ tiếp xúc $AB, AC$ và $NL, NK$. Theo định lý $Monge-D'Alambert$, ta có $A$ là tâm vị tự ngoài của $\alpha_1$ và $(J)$, $N$ là tâm vị tự ngoài của $(J)$ và $(O')$, từ đó suy ra $P$ là tâm vị tự ngoài của $\alpha_1$ và $(O')$. Tương tự $P$ là tâm vị tự ngoài của $\alpha_2$ và $(O')$. Suy ra $\alpha_1 \equiv \alpha_2$. Như vậy $AKNL$ ngoại tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 19-02-2017 - 20:58


#3 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 19-02-2017 - 21:51

 Lời giải :

+Ta có bổ đề sau : Cho $(O),(C),(D)$ với $(C),(D)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $A,B$ , Kẻ $BX,BY$ tiếp xúc với $(C)$ . $AZ,AT$ tiếp xúc với $(D)$ , Chứng minh 4 đường $BX,BY,AZ,AT$ tạo thành tứ giác ngoại tiếp

Giải : $AD$ cắt $BC$ tại $G$ , ta sẽ chứng minh $AEBF$ ngoại tiếp tâm $G$ ,( $E,F$ như hình vẽ ) gọi $r_{1},r_{2}$ là khoảng cách từ $G$ đến $BY,AZ$

Ta có :$\frac{r_1}{r_2}=\frac{BG.AC}{BC}:\frac{AG.BD}{AD}=\frac{BG}{AG}.\frac{AC}{BC}.\frac{AD}{BD}=1$ suy ra$r_{1}=r_{2}$ nên $(G,r_1)$ nội tiếp $AEBF$

19.png

+Trở lại bài toán : ta sẽ chứng minh $AN,AD$ đẳng giác trong góc $BAC$ , tức $AN$ sẽ đy qua tiếp điểm $A-Mix$ với $(O)$

- Nghịch đảo tâm $A$ phương tích bất kì ta có bài toán sau : tam giác $ABC$ nt $(O)$ , $(J)$ là $A-Mix$ tx $(O)$ tại $D$ , $(ADJ)$ cắt $(J)$ tại $N$ , khi đó $AN,AD$ đẳng giác ( điều này đúng do $JD=JN$) suy ra $AN$ sẽ đy qua tiếp điểm $A-Mix$ với $(O)$

-  Xét phép vị tự tâm $A$ biến $A-Mix \mapsto (J)$... $B,C \mapsto Q,P$ như hình vẽ , Khi đó $(J)$ sẽ là đường tròn $Mixtilinear$ của tam giác $APQ$ 

Áp dụng bỏ đề với $(J)$ và $(ABC)$ cùng tiếp xúc trong với $(APQ)$ nên ta có $AKNL$ ngoại tiếp.

18.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 19-02-2017 - 21:55

~O)  ~O)  ~O)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh