Đến nội dung

Hình ảnh

$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4.(a+b+c+1)^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
LoveMath1234

LoveMath1234

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực:

CMR: $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4.(a+b+c+1)^{2}$

P/S: Giải bằng Cauchy-Schwarz



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

$(a+b+c+1)^2\leq (a^2+3)[1+\frac{(b+c+1)^2}{3}]$

Ta cần chứng minh:

$1+\frac{(b+c+1)^2}{3}\leq \frac{(b^2+3)(c^2+3)}{4}$.

$\Leftrightarrow 11+3b^2c^2+5(b^2+c^2)\geq 8(b+c)+8bc$.

$\Leftrightarrow 3(bc-1)^2+4(b-1)^2+4(c-1)^2+(b-c)^2\geq 0$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 19-02-2017 - 21:34

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

\[\begin{aligned}(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3) - 4(a+b+c+1)^{2} & = \frac { \left[( {b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5 ) a-4b-4c-4 \right]^2}{{b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5}+\\& + \frac{( {c}^{2}+3 )  ( {b}^{2}+3 )  \left[  ( 3b{c}^{2}+5b-4c-4 ) ^{2}+3 ( 5{c}^{2}+2c+13)( c-1 )^{2}\right]}{ ( 3{c}^{2}+5 ) ({b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5 )} \geqslant 0.\end{aligned}\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh