Cho a,b,c là các số thực:
CMR: $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4.(a+b+c+1)^{2}$
P/S: Giải bằng Cauchy-Schwarz
Cho a,b,c là các số thực:
CMR: $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4.(a+b+c+1)^{2}$
P/S: Giải bằng Cauchy-Schwarz
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
$(a+b+c+1)^2\leq (a^2+3)[1+\frac{(b+c+1)^2}{3}]$
Ta cần chứng minh:
$1+\frac{(b+c+1)^2}{3}\leq \frac{(b^2+3)(c^2+3)}{4}$.
$\Leftrightarrow 11+3b^2c^2+5(b^2+c^2)\geq 8(b+c)+8bc$.
$\Leftrightarrow 3(bc-1)^2+4(b-1)^2+4(c-1)^2+(b-c)^2\geq 0$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 19-02-2017 - 21:34
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
\[\begin{aligned}(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3) - 4(a+b+c+1)^{2} & = \frac { \left[( {b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5 ) a-4b-4c-4 \right]^2}{{b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5}+\\& + \frac{( {c}^{2}+3 ) ( {b}^{2}+3 ) \left[ ( 3b{c}^{2}+5b-4c-4 ) ^{2}+3 ( 5{c}^{2}+2c+13)( c-1 )^{2}\right]}{ ( 3{c}^{2}+5 ) ({b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5 )} \geqslant 0.\end{aligned}\]
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh