Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Cho p>7 là một số nguyên tố. Chứng minh $ 3^{p}-2^{p}-1 $ chia hết cho 42p

[BK29DTM]

Theo định lí Fermat nhỏ ta có

3.3^p-1 ≡ 3(mod p) 

2.2^p-1 ≡ 2(mod p) 

suy ra 3^p - 2^p - 1  ≡ 3-2-1(mod p) ≡0(mod p)

 suy ra 3^p -2^p -1 chia hết cho p

p là số nguyên tố lớn hơn 7 nên p là số lẻ suy ra 2^p + 1 chia hết cho 3

suy ra 3^p-2^p-1 chia hết cho 3. lại có 3^p-2^p-1 chia hết cho 2

(2,3)=1 suy ra 3^p-2^p-1 chia hết cho 6

Do p là số nguyên tố lớn hơn 7 nên p chỉ có dạng: 6k +1 hoặc 6k +5

*với p=6k+1 ta có

3^6k+1 = 3.729^k  ≡ 3(mod 7)

2^6k+1 = 2.64^k  ≡ 2(mod 7)

suy ra  3^6k+1-2^{6k +1}-1  ≡ 0(mod 7) 

t² vs p= 6k+5 ta có 3^p-2^p-1 chia hết cho 7

mà (6,7,p)=1 suy ra 3^p-2^p-1 chia hết cho 42p