Chủ đề này có 5 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số a,b,c>0. CMR: 

$ \frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq 5 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 20-02-2017 - 14:56

[9nho10mong]

Cho ba số a,b,c>0. CMR: 

$ \frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq 5 $

Trước hết dùng AM-GM có

$$ a^2+a^2+a^5 \ge 3 a^3 $$

Như vậy

$$ \text{VT} \ge  \frac{3 \left( a^3+b^3+c^3 \right) + \left( a^5+b^5+c^5 \right)}{a^3+b^3+c^3}+ \frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2} = 3 + \frac{ \left( a^5+b^5+c^5 \right)}{a^3+b^3+c^3}+ \frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2}$$

Cần chứng minh

$$ \frac{ a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3}+ \frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2} \ge 2 $$

Dùng Cauchy-Schwarz có

$$ \left( a^5+b^5+c^5 \right) \left( a+b+c \right) \ge \left( a^3+b^3+c^3 \right)^2 $$

Suy ra

$$  \frac{ a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3} \ge  \frac{ a^3+b^3+c^3}{a+b+c} $$

Lúc đó 

$$ \frac{ a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3}+ \frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2} \ge \frac{ a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2} \ge 2 \sqrt{\frac{ 9 \left(a^3+b^3+c^3 \right)}{ \left( a+b+c \right)^3}} \ge 2$$

Đó là điều cần chứng minh.

[PlanBbyFESN]

Cho ba số a,b,c>0. CMR: 

$ \frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq 5 $

 

$\frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}}= \frac{(a^{5}+b^{5}+c^{5})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{(a^{5}+b^{5}+c^{5})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq 5\sqrt[5]{\frac{9(a^{5}+b^{5}+c^{5})^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{((a^{3}+b^{3}+c^{3})^{4})(a+b+c)^{2}}}$

 

Cần CM: $3(a^{5}+b^{5}+c^{5})(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}(a+b+c)$

 

Hiển nhiên từ 2 BĐT sau: 

 

$\left\{\begin{matrix} (a^{5}+b^{5}+c^{5})(a+b+c)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2} & \\ 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2} & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 20-02-2017 - 20:29

[Nguyenhuyen_AG]

Cho ba số a,b,c>0. CMR: 

$ \frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq 5 $

 

Bài này có thể biểu diễn dưới dạng các tổng bình phương nhưng hệ số rất xấu

 

[QWEFJAS]

Bài này có thể biểu diễn dưới dạng các tổng bình phương nhưng hệ số rất xấu

 

Anh phân tích thế này có phải dùng tool hay phần mềm ji ko~~

[Nguyenhuyen_AG]

Anh dùng phần mềm do anh viết trên Maple.