Đến nội dung

Hình ảnh

CM ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ là bình phương 1 số hữu tỉ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

Cho 3 số $a,b,c$ là số hữu tỉ thỏa mãn $abc=1$ và $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}$

Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ là bình phương 1 số hữu tỉ



#2
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Sau khi tách điều kiện mình thấy có nhân tử là a^2-b,,,b^2-c,,,c^2-a......Do đó ta có q.e.d


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 20-02-2017 - 21:15

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#3
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

Cho 3 số $a,b,c$ là số hữu tỉ thỏa mãn $abc=1$ và $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}$

Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ là bình phương 1 số hữu tỉ

Cách 1:

Ta có: $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}$

$\Leftrightarrow a^{3}c^{2}+b^{3}a^{2}+c^{3}b^{2}=b^{3}c+c^{3}a+a^{3}b$ ( Do $a^{2}b^{2}c^{2}=abc=1$)

$\Leftrightarrow (a^{2}b^{2}c^{2}-a^{3}c^{2})-(b^{3}a^{2}-a^{3}b)-(c^{3}b^{2}-c^{3}a)+(b^{3}c-abc)=0$

 $\Leftrightarrow (b^{2}-a)(c^{2}-b)(a^{2}-c)=0$ ta có đpcm

Cách 2:

Đặt $\frac{a}{b^{2}}=x;\frac{b}{c^{2}}=y;\frac{c}{a^{2}}=z$ nên x.y.z = 1 $x,y,z\neq 0$

Ta có: $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

$\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0$

Ta có điều phải chứng minh.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh