Cho 3 số $a,b,c$ là số hữu tỉ thỏa mãn $abc=1$ và $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}$
Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ là bình phương 1 số hữu tỉ
Cho 3 số $a,b,c$ là số hữu tỉ thỏa mãn $abc=1$ và $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}$
Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ là bình phương 1 số hữu tỉ
Sau khi tách điều kiện mình thấy có nhân tử là a^2-b,,,b^2-c,,,c^2-a......Do đó ta có q.e.d
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 20-02-2017 - 21:15
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Cho 3 số $a,b,c$ là số hữu tỉ thỏa mãn $abc=1$ và $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}$
Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ là bình phương 1 số hữu tỉ
Cách 1:
Ta có: $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}$
$\Leftrightarrow a^{3}c^{2}+b^{3}a^{2}+c^{3}b^{2}=b^{3}c+c^{3}a+a^{3}b$ ( Do $a^{2}b^{2}c^{2}=abc=1$)
$\Leftrightarrow (a^{2}b^{2}c^{2}-a^{3}c^{2})-(b^{3}a^{2}-a^{3}b)-(c^{3}b^{2}-c^{3}a)+(b^{3}c-abc)=0$
$\Leftrightarrow (b^{2}-a)(c^{2}-b)(a^{2}-c)=0$ ta có đpcm
Cách 2:
Đặt $\frac{a}{b^{2}}=x;\frac{b}{c^{2}}=y;\frac{c}{a^{2}}=z$ nên x.y.z = 1 $x,y,z\neq 0$
Ta có: $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
$\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0$
Ta có điều phải chứng minh.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh