Chủ đề này có 4 trả lời

[LoveMath1234]

1. Cho a,b,c >0

CMR: $\frac{a^3b}{1+a^2b}+\frac{b^3c}{1+bc^2}+\frac{c^3a}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

2. Cho a,b,c>0

CMR: $\frac{a^4}{1+a^2b}+\frac{b^4}{1+b^2c}+\frac{c^4}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

[BK29DTM]

tôi biết làm rồi nhưng ko ấn được phân số ai chỉ tôi vs

[MetaHumanS]

Vế trái $<=>$ $\frac{a^3bc}{c+a^2bc}+\frac{b^3ca}{a+bc^2a}+\frac{c^3ab}{b+ca^2b}$

 $=abc\left (\frac{a^2}{c+a^2bc}+\frac{b^2}{a+bc^2a}+\frac{c^2}{b+ca^2b}\right )$

Đến đây áp dụng BĐT Cauchy Schwarz

 

Vế trái$\geq abc.\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+abc(a+b+c)}$

$=>$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MetaHumanS: 20-02-2017 - 23:26

[phamngochung9a]

1. Cho a,b,c >0

CMR: $\frac{a^3b}{1+a^2b}+\frac{b^3c}{1+bc^2}+\frac{c^3a}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

2. Cho a,b,c>0

CMR: $\frac{a^4}{1+a^2b}+\frac{b^4}{1+b^2c}+\frac{c^4}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

$\boxed{\text{Bài 1}}$

Chia hai vế cho $abc$, ta cần chứng minh:

$$\frac{a^{2}}{c+a^{2}bc}+\frac{b^{2}}{a+abc^{2}}+\frac{c^{2}}{b+a^{2}bc}\geq \frac{a+b+c}{1+abc} \quad \quad (*)$$

Theo bất đẳng thức $\text{Cauchy-Schwarz}$, ta có: 

$$\frac{a^{2}}{c+a^{2}bc}+\frac{b^{2}}{a+abc^{2}}+\frac{c^{2}}{b+a^{2}bc}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a+b+c+abc\left ( a+b+c \right )}=\frac{a+b+c}{1+abc}$$

Suy ra $(*)$ đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

 

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$

Chia hai vế cho $abc$, ta cần chứng minh:

$$\frac{a^{3}}{bc+a^{2}b^{2}c}+\frac{b^{3}}{ac+ab^{2}c^{2}}+\frac{c^{3}}{ab+a^{2}c^{2}b}\geq \frac{a+b+c}{1+abc}$$

Theo bất đẳng thức $\text{Holder}$, ta có:

$$\frac{a^{3}}{bc+a^{2}b^{2}c}+\frac{b^{3}}{ac+ab^{2}c^{2}}+\frac{c^{3}}{ab+a^{2}c^{2}b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{3\left ( ab+bc+ca \right )+3abc\left ( ab+bc+ca \right )}$$

$$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{3\left ( ab+bc+ca \right )\left ( abc+1 \right )}\geq \frac{a+b+c}{abc+1}$$

 

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

[diemdaotran]

bài 1 tôi cũng làm như thế, bài 2 tôi có cách khác nhưng dài hơn của bạn phamngochung9a

  BĐT cần cm $\Leftrightarrow (\frac{a^4}{1+a^2b}+\frac{b^4}{1+b^2c}+\frac{c^4}{1+c^2a})\frac{1}{abc}\geq \frac{a+b+c}{1+abc}$

$\Leftrightarrow \frac{\frac{a^3}{b}}{c+a^2bc}+\frac{\frac{b^3}{c}}{a+ab^2c}+\frac{\frac{c^3}{a}}{b+abc^2}\geq \frac{a+b+c}{1+abc}$

Ta có: $\frac{\frac{a^3}{b}}{c+a^2bc}+\frac{\frac{b^3}{c}}{a+ab^2c}+\frac{\frac{c^3}{a}}{b+abc^2}\doteq \frac{\frac{a^4}{ab}}{c+a^2bc}+\frac{\frac{b^4}{bc}}{a+ab^2c}+\frac{\frac{c^4}{ac}}{b+abc^2}\geq \frac{(\frac{a^2}{\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{ca}})^2}{a+b+c+a^2bc+ab^2c+abc^2}$$\doteq \frac{(\frac{a^2}{\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{ca}})^2}{(abc+1)(a+b+c)}$

do đó ta đi cm $\frac{(\frac{a^2}{\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{ca}})^2}{(abc+1)(a+b+c)}\geq \frac{a+b+c}{1+abc}\Leftrightarrow \frac{(\frac{a^2}{\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{ca}})^2}{a+b+c}\geq a+b+c\Leftrightarrow (\frac{a^2}{\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{ca}})^2\geq (a+b+c)^2$$\Leftrightarrow \frac{a^2}{\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{ca}}\geq a+b+c$ mà $\frac{a^2}{\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{ca}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\doteq a+b+c$$\Rightarrow$đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diemdaotran: 17-04-2017 - 19:32