Chủ đề này có 3 trả lời

[cuteodidai1]

Giải phương trình: $(x-5)(x+2)+\sqrt{x^{2}+3x}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 21-02-2017 - 19:08

[huykinhcan99]

Điều kiện xác định: $x^2+3x\geqslant 0\iff \left[ \begin{array}{l} x\geqslant 0 \\ x\leqslant -3\end{array}\right.$

Điều kiện có nghiệm: $\left(x-5\right)\left(x+2\right)\leqslant 0\iff -2\leqslant x \leqslant 5$

Kết hợp các điều kiện trên ta thu được điều kiện $0\leqslant x \leqslant 5$

 

Phương trình đã cho tương đương với $\sqrt{x^2+3x}=\left(5-x\right)\left(x+2\right) \implies x^2+3x=\left(5-x\right)^2\left(x+2\right)^2 \iff x^4-6x^3-12x^2+57x+100=0$

 

Xét tham số $y\in\mathbb{R}$, cộng hai vế của phương trình trên với $P(x)=\left(y+21\right)x^2-3\left(y+19\right)x+\left(\dfrac{y^2}{4}-100\right)$ ta thu được

\begin{align} &\phantom{\iff~} x^4-6x^3-12x^2+57x+100+\left(y+21\right)x^2-3\left(y+19\right)x+\left(\dfrac{y^2}{4}-100\right)=P(x) \nonumber \\ &\iff x^4-6x^3+9x^2+yx^2-3y+\dfrac{y^2}{4}=P(x) \nonumber\\ &\iff \left(x^2-3x\right)^2+\left(x^2-3x\right)y+\dfrac{y^2}{4}=P(x) \nonumber \\ &\iff \left(x^2-3x+\dfrac{y}{2}\right)^2=P(x) \label{eq:1} \end{align}

 

Ta chọn tham số $y$ để $P(x)$ là bình phương của một đa thức. Muốn đạt được điều đó, ta chỉ việc chọn $y$ để biệt thức của $P(x)$ là bằng không, tức là

\[9\left(y+19\right)^2-4\left(y+21\right)\left(\dfrac{y^2}{4}-100\right)=0\iff y^3 + 12 y^2 - 742 y - 11649=0\]

 

Đặt $y=z-4$, ta thu được phương trình $\left(z-4\right)^3+12\left(z-4\right)^2-742\left(z-4\right)-11649=0\iff z^3 - 790 z - 8553 = 0$

 

Đặt $z=u+v, u\geqslant v$. Phương trình trở thành $\left(u^3+v^3-8553\right)+\left(3uv-790\right)\left(u+v\right)=0$. Ta chọn $u\geqslant v$ sao cho $3uv=790$. Khi đó ta có hệ

\[\left\{ \begin{array}{l} u^3+v^3=8553 \\ uv=\dfrac{790}{3} \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l} u^3+v^3=8553 \\ uv=\dfrac{790^3}{27} \end{array}\right.\]

 

Theo định lý $\textit{Viète}$ thì ta có ngay $u^3$ và $v^3$ là nghiệm của phương trình $X^2-8553X+\dfrac{790^3}{27}=0$. Giải phương trình này ta thu được

\[\left\{\begin{array}{l} u^3=\dfrac{8553}{2}+\dfrac{\sqrt{8990529}}{18}\\ v^3=\dfrac{8553}{2}-\dfrac{\sqrt{8990529}}{18}\end{array} \right. \]

 

Từ đó ta suy ra $y=\alpha=z-4=\sqrt[3]{\dfrac{8553}{2}+\dfrac{\sqrt{8990529}}{18}}+\sqrt[3]{\dfrac{8553}{2}-\dfrac{\sqrt{8990529}}{18}}-4$

 

Khi $\alpha=\alpha$ thì biệt thức của $P(x)$ bằng không, tức là $9\left(\alpha+19\right)^2-4\left(\alpha+21\right)\left(\dfrac{\alpha^2}{4}-100\right)=0 \implies 3\left(\alpha+19\right)=2\sqrt{\alpha+21}.\sqrt{\dfrac{\alpha^2}{4}-100}$

 

Khi đó \eqref{eq:1} trở thành $\left(x^2-3x+\dfrac{\alpha}{2}\right)^2=\left(\alpha+21\right)x^2-2\sqrt{\alpha+21}.\sqrt{\dfrac{\alpha^2}{4}-100}x+\left(\dfrac{\alpha^2}{4}-100\right)$, hay là

\[\left(x^2-3x+\dfrac{\alpha}{2}\right)^2=\left(\sqrt{\alpha+21}x-\sqrt{\dfrac{\alpha^2}{4}-100}\right)^2\]

 

Phương trình này tương đương với hai phương trình bậc hai

\begin{align} \label{eq:2} &x^2+\left(\sqrt{\alpha+21}-3\right)x-\sqrt{\dfrac{\alpha^2}{4}-100}+\dfrac{\alpha}{2}=0 \\ \label{eq:3} &x^2-\left(\sqrt{\alpha+21}+3\right)x+\sqrt{\dfrac{\alpha^2}{4}-100}+\dfrac{\alpha}{2}=0\end{align}

 

Phương trình \eqref{eq:2} có $\Delta=\left(\sqrt{\alpha+21}-3\right)^2-4\left(-\sqrt{\dfrac{\alpha^2}{4}-100}+\dfrac{\alpha}{2}\right)<0$ nên vô nghiệm.

Phương trình \eqref{eq:3} có các nghiệm

\[\left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{ \sqrt{\alpha+21} +3 + \sqrt{-2 \sqrt{\alpha^2 - 400} - \alpha + 6 \sqrt{\alpha + 21} + 30}}{2} > 5 \quad \text{(loại)} \\ x=\dfrac{ \sqrt{\alpha+21} +3 - \sqrt{-2 \sqrt{\alpha^2 - 400} - \alpha + 6 \sqrt{\alpha + 21} + 30}}{2} \end{array} \right.\]

 

Phương trình có một nghiệm duy nhất là

\[x=\dfrac{ \sqrt{\alpha+21} +3 - \sqrt{-2 \sqrt{\alpha^2 - 400} - \alpha + 6 \sqrt{\alpha + 21} + 30}}{2}\]

(với $\alpha=\sqrt[3]{\dfrac{8553}{2}+\dfrac{\sqrt{8990529}}{18}}+\sqrt[3]{\dfrac{8553}{2}-\dfrac{\sqrt{8990529}}{18}}-4$)

 

Spoiler

Bài này phải tính toán nhiều quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 23-02-2017 - 22:20

[LinhToan]

Điều kiện xác định: $x^2+3x\geqslant 0\iff \left[ \begin{array}{l} x\geqslant 0 \\ x\leqslant -3\end{array}\right.$

Điều kiện có nghiệm: $\left(x-5\right)\left(x+2\right)\leqslant 0\iff -2\leqslant x \leqslant 5$

 

Phương trình đã cho tương đương với $\sqrt{x^2+3x}=\left(5-x\right)\left(x+2\right) \implies x^2+3x=\left(5-x\right)^2\left(x+2\right)^2 \iff x^4-6x^3-12x^2+57x+100=0$

 

Xét tham số $y\in\mathbb{R}$, cộng hai vế của phương trình trên với $P(x)=\left(y+21\right)x^2-3\left(y+19\right)x+\left(\dfrac{y^2}{4}-100\right)$ ta thu được

\begin{align*} &\phantom{\iff~} x^4-6x^3-12x^2+57x+100+\left(y+21\right)x^2-3\left(y+19\right)x+\left(\dfrac{y^2}{4}-100\right)=P(x) \\ &\iff x^4-6x^3+9x^2+yx^2-3y+\dfrac{y^2}{4}=P(x) \\ &\iff \left(x^2-3x\right)^2+\left(x^2-3x\right)y+\dfrac{y^2}{4}=P(x) \\ &\iff \left(x^2-3x+\dfrac{y}{2}\right)^2=P(x) \end{align*}

 

Ta chọn tham số $y$ để $P(x)$ là bình phương của một đa thức. Muốn đạt được điều đó, ta chỉ việc chọn $y$ để biệt thức của $P(x)$ là bằng không, tức là

\[9\left(y+19\right)^2-\left(y+21\right)\left(y^2-400\right)=0\iff y^3 + 12 y^2 - 742 y - 11649=0\]

vì sao ạ?

[huykinhcan99]

vì sao ạ?

 

Nếu ta có được $P(x)$ là một bình phương thì ta sẽ thu được phương trình dạng $A^2=B^2$, phân tích được thành nhân tử.

Đế ý rằng $P(x)=\left(y+21\right)x^2-3\left(y+19\right)x+\left(\dfrac{y^2}{4}-100\right)$ là một tam thức bậc hai theo biến $x$. Nếu $\Delta_{P(x)}=0$ thì về mặt đa thức, $P(x)$ sẽ có nghiệm kép, tức là $P(x)$ chia hết cho bình phương của một đa thức bậc nhất. Mà $P(x)$ lại là tam thức bậc hai nên sẽ là bình phương của một đa thức bậc nhất.

 

Spoiler

Nói thế thôi, chứ chỉ nói đơn giản tìm $y$ để $9\left(\alpha+19\right)^2-4\left(\alpha+21\right)\left(\dfrac{\alpha^2}{4}-100\right)=0 \implies 3\left(\alpha+19\right)=2\sqrt{\alpha+21}.\sqrt{\dfrac{\alpha^2}{4}-100}$ có khi vẫn ổn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 23-02-2017 - 22:12