Chủ đề này có 1 trả lời

[Katyusha]

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+1$. Số nghiệm của phương trình $f(f(x))=0$ là

 

A. 3

B. 5

C. 7

D. 9

[IHateMath]

Đáp số: $7$.

Trước hết nhận xét về hàm $f$. Phương trình $f(x)=0$ có ba nghiệm thực phân biệt $x_1\in (-1,0),\ x_2\in (0,1),\ x_3\in (2,3)$, và $f$ có giá trị cực đại là $1$, giá trị cực tiểu là $-3$. Bây giờ xét phương trình $f(f(x))=0$. Rõ ràng nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình này thì $f(x_0)$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$, do đó phương trình $f(f(x))=0$ tương đương với

Xét hàm số $g(x)=f(x)-x_1$. Hàm số này có giá trị cực đại là $1-x_1>0$ và giá trị cực tiểu là $-3-x_1<0$. Do đó phương trình $f(x)=x_1$ có ba nghiệm thực phân biệt. Tương tự ta phương trình $f(x)=x_2$ cũng có ba nghiệm thực phân biệt. Còn hàm số $h(x)=f(x)-x_3$ có giá trị cực đại là $1-x_3<0$ nên phương trình $f(x)=x_3$ có một nghiệm duy nhất. Vậy tóm lại, phương trình đã cho $f(f(x))=0$ có đúng $7$ nghiệm.