Chủ đề này có 3 trả lời

[myduyen2792]

Cho a,b,c thuộc [0;1]. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$
Em thực sự đang cần rất gấp ạ. Em cảm ơn mọi người nhé ^^ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi myduyen2792: 21-02-2017 - 19:33

[HoangKhanh2002]

Cho a,b,c thuộc [0;1]. Chứng minh rằng:
 $\frac{a}{b+c+1} +\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Vì $a,b,c \in [0;1] \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-a\leq 0\\ 1-b\leq 0\\ 1-c\leq 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq 0$

Theo giả thiết $\left\{\begin{matrix} a\leq 1\Rightarrow b+c+1\geq a+b+c\\ b\leq 1\Rightarrow c+a+1\geq a+b+c\\ c\leq 1\Rightarrow a+b+1\geq a+b+c \end{matrix}\right. \Rightarrow \sum \frac{a}{a+b+c}\leq 1\Rightarrow \frac{a}{b+c+1} +\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

PS: Chú ý đặt tiêu đề và gõ $LATEX$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 21-02-2017 - 17:39

[myduyen2792]

Vì $a,b,c \in [0;1] \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-a\leq 0\\ 1-b\leq 0\\ 1-c\leq 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq 0$

Theo giả thiết $\left\{\begin{matrix} a\leq 1\Rightarrow b+c+1\geq a+b+c\\ b\leq 1\Rightarrow c+a+1\geq a+b+c\\ c\leq 1\Rightarrow a+b+1\geq a+b+c \end{matrix}\right. \Rightarrow \sum \frac{a}{a+b+c}\leq 1\Rightarrow \frac{a}{b+c+1} +\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

PS: Chú ý đặt tiêu đề và gõ $LATEX$

hmm cảm ơn bạn nhiều, mình chỉ mới đăng kí forum hôm nay mình cũng không biết rõ về LATEX phải gõ sao nữa   

[HoangKhanh2002]

hmm cảm ơn bạn nhiều, mình chỉ mới đăng kí forum hôm nay mình cũng không biết rõ về LATEX phải gõ sao nữa   

Dưới đây là một số điều bạn cần biết khi tham gia diễn đàn.

• Nội quy diễn đàn
• Hướng dẫn đăng bài trên diễn đàn
• Cách gõ công thức Toán, rất đơn giản.
• Bạn cần đặt các chủ đề do mình tạo đúng chỗ. Diễn đàn có các box riêng cho THCS, THPT, Toán Đại Học, Toán Olympiad, v.v...
• Chú ý đặt tiêu đề bài viết đúng quy định để bài viết của bạn không bị xoá: http://diendantoanho...showtopic=65669 . Chú ý, nếu vi phạm nhiều lần, có thể bạn sẽ bị treo nick.

Chúc bạn mạnh khỏe, hạnh phúc và thu được nhiều điều bổ ích từ VMF.