Đến nội dung

Hình ảnh

Max $ \sum \frac{1}{a^2+b^2+3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math Master

Math Master

    Blue Sky

  • Thành viên
  • 245 Bài viết
Cho a,b,c dương thỏa mãn
$ a+b+c = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $
Tìm max $\frac{1}{a^2+b^2+3} + \frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 21-02-2017 - 21:23

~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~

Imagination is more important than knowledge.

-Einstein-


#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Cho a,b,c dương thỏa mãn
$ a+b+c = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $
Tìm max $\frac{1}{a^2+b^2+3} + \frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}$

Để cho gọn, ta đặt $\left\{\begin{matrix} a\sqrt{\frac{2}{3}}=x & & \\ b\sqrt{\frac{2}{3}}=y & & \\ c\sqrt{\frac{2}{3}}=z & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=\sqrt{\frac{2}{3}}\left ( a+b+c \right )=3$

Khi đó, cần tìm giá trị lớn nhất của: $P=\frac{2}{3}\left ( \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2} \right )$

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $z=\max\left \{ x,y,z \right \}$.

 

Đặt $f(x,y,z)= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}$

 

Ta sẽ chứng minh $f(x,y,z)\leq f\left ( \frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z \right )$. Thật vậy:

 

Xét hiệu: $d=f\left ( \frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z \right )- f(x,y,z)\\=\frac{1}{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}+2}-\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}+z^{2}+2}-\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}+z^{2}+2}-\frac{1}{x^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{\left ( x-y \right )\left ( 3x+y \right )}{\left [ \left ( x+y \right )^{2}+4z^{2}+8 \right ]\left ( z^{2}+x^{2}+2 \right )}+\frac{\left ( y-x \right )\left ( 3y+x \right )}{\left [ \left ( x+y \right )^{2}+4z^{2}+8 \right ]\left ( y^{2}+z^{2}+2 \right )}\\=\frac{\left ( x-y \right )^{2}\left ( 2z^{2}+4-x^{2}-4xy-y^{2} \right )}{\left ( x^{2}+z^{2}+2 \right )\left ( y^{2}+z^{2}+2 \right )\left [ \left ( x+y \right )^{2}+4z^{2}+8 \right ]}$

 

Ta có: $2z^{2}+4-x^{2}-4xy-y^{2} \geq 4-\left ( x+y \right )^{2}\geq 4-\frac{4}{9}\left ( x+y+z \right )^{2}=0$

$\Rightarrow d\geq 0$, ta có điều phải chứng minh.

 

Do đó: $P\leq \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}+2}+\frac{2}{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}+z^{2}+2} \right )=\frac{4}{3}\left ( \frac{1}{z^{2}-6z+13}+\frac{4}{5z^{2}-6z+17} \right )=\frac{4\left ( 3z^{2}-10z+23 \right )}{\left ( z^{2}-6z+13 \right )\left ( 5z^{2}-6z+17 \right )}$

 

$\Rightarrow P-\frac{1}{2}\leq -\frac{\left ( z-1 \right )^{2}\left ( 5z^{2}-26z+37 \right )}{2\left ( z^{2}-6z+13 \right )\left ( 5z^{2}-6z+17 \right )}\leq 0\\\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}$

 

Vậy $\max P= \frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 23-02-2017 - 22:34





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh