Chủ đề này có 1 trả lời

[viet9a14124869]

Cho x,y,z $\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn

                                  $\sum \frac{1}{x^{2}}=1$

Tìm min $A=\sum \frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}$

[viet9a14124869]

Mình đã có lời giải cho bài này ,,,,,

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1$

Ta thấy $A=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$

Mặt khác $\frac{8}{27}=\frac{(2a^2+1-a^2+1-a^2)^3}{27}\geq 2a^2(1-a^2)(1-a^2)\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt{3}}\geq a(1-a^2)$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{1-a^2}=\sum \frac{a^2}{a(1-a^2)}\geq \sum \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$