Đến nội dung

Hình ảnh

Bài hình thi thử vòng 2 đợt 1, chuyên KHTN: Chứng minh rằng IP vuông góc với CJ.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Bài hình thi thử vòng 2 đợt 1, chuyên KHTN: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng qua A song song EF cắt DE tại P. Gọi giao điểm của BP và EF là J.

1) Chứng minh rằng J là trung điểm của EF.

2) Chứng minh rằng IP vuông góc với CJ.



#2
BK29DTM

BK29DTM

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

câu 1 nè 

Trước tiên ta cần chứng minh cái nay trước

kẻ BK // vs EF cắt ED tại G

ta có tam giác AEF cân tại A nên tam giác ABK cũng cân tại A suy ra EK = FB = BD

xét tam giác BKC và đường thẳng DE có 

EK/EC.BG/GK.DC/DB = 1

suy ra BG/GK = BD/DC.EC/EK=BD/DC.DC/BD=1

suy ra G là trung điểm của BK

ta kéo dài BE cắt AP tại điểm H ta có BK // AH. G là trung điểm BK suy ra P là trung điểm AH

FE//AH P là trung điểm AH suy ra BP cắt È tại trung điểm của EF xong

*Lưu ý: do mình ko viết được dấu phân số nên các bạn cứ tạm coi EK/EC là EK chia cho EC nha :)



#3
BK29DTM

BK29DTM

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

câu 2 nè:

Nối CI cắt ED tại K suy ra K là trung điểm ED và CK vuông góc vs ED

ta có góc IJK + góc KJE = 90 độ

mà góc KJE = góc DFE vì JK // FD

ra có góc IED + góc DFE = 90 độ(tự cm)

suy ra góc IJK = góc IED

suy ra góc KJA = góc IEP

ta có góc PEA = góc DEC = góc EFD ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

lại có góc EPA = góc FED( do AP // EF)

suy ra tam giác PAE đồng dạng vs tam giác EDF (g.g)

suy ra PE.FD = AE.EF

suy ra PE =(AE.EF)/FD

suy ra AJ/PE = (AJ.FD)/(AE.EF)

ta có IK/EI = FD/2R

mà ta có AJ.2R=AJ.2EI=2AE.EJ=AE.EF

suy ra (AJ.FD)/(AE.EF) = FD/2R

suy ra AJ/PE=IK/EI. Lại có góc AIK = góc PEI(cmt)

suy ra tam giác AJK đồng dạng vs tam giác PEI(c.g.c)

suy ra góc JAK = góc IPE 

mà tứ giác AJKC nội tiếp(cái này dễ tự cm)

suy ra góc JAK = góc JCK

suy ra góc JCK=góc IPE

gọi Z là giao điểm của PI và CJ ta xét tứ giác ZKCP có

góc ZPK=góc ZCK suy ra tứ giác ZKCP nội tiếp suy ra góc PZC = góc PKC = 90 độ suy ra PI vuông góc với CJ ( dfcm)



#4
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

câu 2 nè:

Nối CI cắt ED tại K suy ra K là trung điểm ED và CK vuông góc vs ED

ta có góc IJK + góc KJE = 90 độ

mà góc KJE = góc DFE vì JK // FD

ra có góc IED + góc DFE = 90 độ(tự cm)

suy ra góc IJK = góc IED

suy ra góc KJA = góc IEP

ta có góc PEA = góc DEC = góc EFD ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

lại có góc EPA = góc FED( do AP // EF)

suy ra tam giác PAE đồng dạng vs tam giác EDF (g.g)

suy ra PE.FD = AE.EF

suy ra PE =(AE.EF)/FD

suy ra AJ/PE = (AJ.FD)/(AE.EF)

ta có IK/EI = FD/2R

mà ta có AJ.2R=AJ.2EI=2AE.EJ=AE.EF

suy ra (AJ.FD)/(AE.EF) = FD/2R

suy ra AJ/PE=IK/EI. Lại có góc AIK = góc PEI(cmt)

suy ra tam giác AJK đồng dạng vs tam giác PEI(c.g.c)

suy ra góc JAK = góc IPE 

mà tứ giác AJKC nội tiếp(cái này dễ tự cm)

suy ra góc JAK = góc JCK

suy ra góc JCK=góc IPE

gọi Z là giao điểm của PI và CJ ta xét tứ giác ZKCP có

góc ZPK=góc ZCK suy ra tứ giác ZKCP nội tiếp suy ra góc PZC = góc PKC = 90 độ suy ra PI vuông góc với CJ ( dfcm)

Bác chứng minh rắc rối kinh. IJEK là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle IJK = \angle IEK$.

 

Lấy điểm G ở câu trước thì có: $\frac{AJ}{PE}=\frac{GJ}{GE}=\frac{NJ}{IE}$

 

Từ đó có tam giác AJK và PEI đồng dạng!



#5
BK29DTM

BK29DTM

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

uk nhe do mình vẽ hình rối quá nên ko nhìn ra thanks bạn nha






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh