cho a,b,c là các số trong khoảng từ 0 đến 2
thỏa mãn a+b+c=3.
CMR: a2+b2+c2$<= 5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LinhToan: 22-02-2017 - 20:14
cho a,b,c là các số trong khoảng từ 0 đến 2
thỏa mãn a+b+c=3.
CMR: a2+b2+c2$<= 5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LinhToan: 22-02-2017 - 20:14
sao bạn nghĩ hay vậy
Ta giả sử $2\geq a\geq b\geq c\Rightarrow a\geq 1\Rightarrow (a-1)(a-2)\leq 0$
Mặt khác $a^2+b^2+c^2\leq a^2+(b+c)^2=a^2+(3-a)^2=2(a-1)(a-2)+5\leq 5$
Cho các số $a,b,c\in \begin{bmatrix} 0;2 \end{bmatrix}$và thỏa mãn a+b+c=3.
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 $\leq$5
Cách 1:
Do vai trò của x, y, z là như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử: $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$
$3=a+b+c\leq 3c\Rightarrow 1\leq c\leq 2$
Ta có: $a+b+c=3\Rightarrow a+b=3-c$
Suy ra $a^2+b^2+c^2=(a+b)^2-2ab+c^2\leq (a+b)^2+c^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq (3-c)^2+c^2=2c^2-6c+9 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2(c-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}$
Vì $1\leq c\leq 2,-\frac{1}{2}\leq c-\frac{3}{2}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow (c-\frac{1}{2})^2\leq \frac{1}{4}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2.\frac{1}{4}+\frac{9}{2}=5$
Cách 2:
Vì$a,b,c\in \begin{bmatrix} 0;2 \end{bmatrix}\Rightarrow (2-a)(2-b)(2-c)\geq 0 \Leftrightarrow 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4(a+b+c)-8+abc=4-abc\geq 4 \Leftrightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\geq 4 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 5$
Dấu "=" xảy ra khi trong ba số a, b, c có 1 số bằng 2, một số bằng 0 và 1 số bằng 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 22-02-2017 - 22:57
dấu + bạn nhỉ
Cách 1:
Do vai trò của x, y, z là như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử: $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$
$3=a+b+c\leq 3c\Rightarrow 1\leq c\leq 2$
Ta có: $a+b+c=3\Rightarrow a+b=3-c$
Suy ra $a^2+b^2+c^2=(a+b)^2-2ab+c^2\leq (a+b)^2+c^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq (3-c)^2+c^2=2c^2-6c+9 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2(c-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}$
Vì $1\leq c\leq 2,-\frac{1}{2}\leq c-\frac{3}{2}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow (c-\frac{1}{2})^2\leq \frac{1}{4}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2.\frac{1}{4}+\frac{9}{2}=5$
Cách 2:
Vì$a,b,c\in \begin{bmatrix} 0;2 \end{bmatrix}\Rightarrow (2-a)(2-b)(2-c)\geq 0 \Leftrightarrow 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4(a+b+c)-8+abc=4-abc\geq 4 \Leftrightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\geq 4 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 5$
Dấu "=" xảy ra khi trong ba số a, b, c có 1 số bằng 2, một số bằng 0 và 1 số bằng 1
Bạn làm luôn hộ mình bài tổng quát ở trên đi nhé
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh