xét sự hội tụ đều của các chuỗi hàm sau
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ trên (0, $\infty$)
$\sum_{n=1}^{\infty }x^n$ trên tập $\left | x \right |<1$
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{x+n}$ trên $(0,\infty )$
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sinnx}{n}$ trên $[0,2\pi ]$
Bài 1: Chuỗi hàm không hội tụ đều vì
Chuỗi hội tụ điểm về $e^x-1$, và
$e^x-1-S_n(x)>\frac{x^{n+1}}{(n+1)!},$
trong đó $S_n(x)= \sum_{n=1}^{n}\frac{x^n}{n!}.$
Suy ra chuỗi hàm không hội tụ đều.
Bài 2:
Chuỗi hàm không hội tụ đều vì chuỗi hội tụ điểm về $f(x)\frac{x}{1-x}$, và
$f(x)-S_n(x)=\frac{x^{n+1}}{1-x},$
trong đó $S_n(x)= \sum_{n=1}^{n}{x^n}.$
Xét $x_n =1-\frac{1}{n} \in (-1,1) \forall n\in \mathbb{N}.$
Vì $\lim_{n\to \infty} f(x_n)-S_n(x_n) = \infty$ nên chuỗi hàm trên không hội tụ đều.