Chủ đề này có 1 trả lời

[Boozzz]

xét sự hội tụ đều của các chuỗi hàm sau

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ trên (0, $\infty$)

$\sum_{n=1}^{\infty }x^n$ trên tập $\left | x \right |<1$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{x+n}$ trên $(0,\infty )$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sinnx}{n}$ trên  $[0,2\pi ]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Boozzz: 23-02-2017 - 10:37

[An Infinitesimal]

xét sự hội tụ đều của các chuỗi hàm sau

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ trên (0, $\infty$)

$\sum_{n=1}^{\infty }x^n$ trên tập $\left | x \right |<1$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{x+n}$ trên $(0,\infty )$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sinnx}{n}$ trên  $[0,2\pi ]$

 

Bài 1: Chuỗi hàm không hội tụ đều vì

Chuỗi hội tụ điểm về $e^x-1$, và 

$e^x-1-S_n(x)>\frac{x^{n+1}}{(n+1)!},$

trong đó $S_n(x)= \sum_{n=1}^{n}\frac{x^n}{n!}.$ 

Suy ra chuỗi hàm không hội tụ đều.

 

Bài 2:

Chuỗi hàm không hội tụ đều vì chuỗi hội tụ điểm về $f(x)\frac{x}{1-x}$, và 

$f(x)-S_n(x)=\frac{x^{n+1}}{1-x},$

trong đó $S_n(x)= \sum_{n=1}^{n}{x^n}.$ 

Xét $x_n =1-\frac{1}{n} \in (-1,1) \forall n\in \mathbb{N}.$

 

Vì $\lim_{n\to \infty} f(x_n)-S_n(x_n) = \infty$ nên chuỗi hàm trên không hội tụ đều.