Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Giải phương trình:

$\sqrt[3]{3x+2}+x\sqrt{3x-2}=2\sqrt{2x^2+1}$

[phamngochung9a]

Giải phương trình:

$\sqrt[3]{3x+2}+x\sqrt{3x-2}=2\sqrt{2x^2+1}$

• Điều kiện: $x \geq \frac{2}{3}$.
• Phương trình đã cho tương đương với:

$\left ( \sqrt[3]{3x+2}-2 \right )+\left ( x\sqrt{3x-2}-4 \right )=\left ( 2\sqrt{2x^{2}+1}-6 \right )\\\Leftrightarrow \frac{3\left ( x-2 \right )}{\sqrt[3]{\left ( 3x+2 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+2}+4}+\frac{\left ( x-2 \right )\left ( 3x^{2}+4x+8 \right )}{x\sqrt{3x-2}+4 }=\frac{4\left ( x+2 \right )\left ( x-2 \right )}{\sqrt{2x^{2}+1}+3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-2=0 & (1) \\ \dfrac{3}{\sqrt[3]{\left ( 3x+2 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+2}+4}+\dfrac{3x^{2}+4x+8}{x\sqrt{3x-2}+4}=\dfrac{4(x+2)}{\sqrt{2x^{2}+1}+3} & (2) \end{matrix}\right.$

• $(1) \Leftrightarrow x=2$
• Ta sẽ chứng minh $(2)$ vô nghiệm do $VT>VP$. Thật vậy:

$VT> \frac{3x^{2}+4x+8}{x\sqrt{3x-2}}\geq \frac{3x^{2}+4x+8}{\frac{x^{2}+3x-2}{2}+4}=\frac{2\left ( 3x^{2}+4x+8 \right )}{x^{2}+3x+4}$

$VP<\frac{4(x+2)}{x+3}$

 

Do đó, ta chỉ cần chứng minh:

 

$\frac{2\left ( 3x^{2}+4x+8 \right )}{x^{2}+3x+4}> \frac{4\left ( x+2 \right )}{x+3}\\\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+8> 0$

 

Vì bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.

 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=2$.

[Baoriven]

Mình xin trình bày cách khác, cũng sử dụng liên hợp.

ĐK: $x\geq \frac{2}{3}$.

PT ban đầu tương đương với:

$(\sqrt[3]{3x+2}-2)+(x\sqrt{3x-2}-2x)+(2x+2-2\sqrt{2x^2+1})=0$

$\Leftrightarrow (x-2)[\frac{3}{\sqrt[3]{(x+2)^2}+2\sqrt[3]{x+2}+4}+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2}{x+1+\sqrt{2x^2+1}}]=0$

Nhận thấy ngay pt có nghiệm $x=2$.

Ta chứng minh: $\frac{3}{\sqrt[3]{(x+2)^2}+2\sqrt[3]{x+2}+4}+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2}{x+1+\sqrt{2x^2+1}}> 0$.

Thực tế chỉ cần chứng minh: $\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2}{x+1+\sqrt{2x^2+1}}> 0$.

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2x^2+1}+(\sqrt{3x-2}-1)^2> 0$.

Nên pt có nghiệm duy nhất $x=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 25-02-2017 - 18:19