Chủ đề này có 16 trả lời

[tuyet tran]

mọi người giúp mk với ạ ! thank all

Hình gửi kèm

• 

[An Infinitesimal]

mọi người giúp mk với ạ ! thank all

Bài 1: 

Đặt $u_n= \frac{1}{n} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (n+k)}$ với $n \in \mathbb{N}.$

 

Khi đó  $u_n=  \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{n}\right)}.$

Và $\ln u_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n \ln{\left(1+\frac{k}{n}\right)}\right).$

Dùng tổng Riemann, ta suy ra $\lim \ln u_n = \int_0^1 \ln{(1+x)}dx=2\ln2-1.$

 

Vì thế $\lim u_n =\frac{4}{e}.$

[An Infinitesimal]

mọi người giúp mk với ạ ! thank all

 

Bài 2 (Câu b)

"Nếu" bỏ cái $\sin$ thì ta dễ dàng dùng tích phần để chỉ ra

$\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx= \frac{\pi}{4},$

trong đó $u_n= \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}.$

 

Đặt $v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3.$

Dễ thấy $\lim v_n=0.$

 

Áp dùng BĐT $x-\frac{x^3}{6} \sin x \le x \forall x\in (0, \pi/2).$

Suy ra giới hạn cần tìm là $ \frac{\pi}{4}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 24-02-2017 - 23:25

[tuyet tran]

Bài 1: 

Đặt $u_n= \frac{1}{n} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (n+k)}$ với $n \in \mathbb{N}.$

 

Khi đó  $u_n=  \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{n}\right)}.$

Và $\ln u_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n \ln{\left(1+\frac{k}{n}\right)}\right).$

Dùng tổng Riemann, ta suy ra $\lim \ln u_n = \int_0^1 \ln{(1+x)}dx=2\ln2-1.$

 

Vì thế $\lim u_n =\frac{4}{e}.$

ok câu a mk hiểu rồi , thank b nhé !

[tuyet tran]

Bài 2 (Câu b)

"Nếu" bỏ cái $\sin$ thì ta dễ dàng dùng tích phần để chỉ ra

$\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx= \frac{\pi}{4},$

trong đó $u_n= \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}.$

 

Đặt $v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3.$

Dễ thấy $\lim v_n=0.$

 

Áp dùng BĐT $x-\frac{x^3}{6} \sin x \le x \forall x\in (0, \pi/2).$

Suy ra giới hạn cần tìm là $ \frac{\pi}{4}.$

mk k hiểu từ chỗ đặt v_n , bạn giải thích rõ hơn đc k ?

[An Infinitesimal]

mk k hiểu từ chỗ đặt v_n , bạn giải thích rõ hơn đc k ?

Ta có 

\[ u_n- v_n \le \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}\le u_n\, \forall n\in \mathbb{N}.\]

 

Nhận xét: $\lim u_n= \frac{\pi}{4}$, và $\lim v_n= 0$ vì

\[0\le v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3 \le \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2}\right)^3=\frac{1}{n^2}, \, \forall n\in \mathbb{N}.\]

Dùng định lý kẹp, suy ra

\[ \lim \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}= \frac{\pi}{4}.\]

[tuyet tran]

Ta có 

\[ u_n- v_n \le \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}\le u_n\, \forall n\in \mathbb{N}.\]

 

Nhận xét: $\lim u_n= \frac{\pi}{4}$, và $\lim v_n= 0$ vì

\[0\le v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3 \le \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2}\right)^3=\frac{1}{n^2}, \, \forall n\in \mathbb{N}.\]

Dùng định lý kẹp, suy ra

\[ \lim \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}= \frac{\pi}{4}.\]

tại sao $\sum_{k=1}^{n}(\frac{n}{n^{2}})^{3}$=$\frac{1}{n^{2}}$ vậy bạn ?

[An Infinitesimal]

tại sao $\sum_{k=1}^{n}(\frac{n}{n^{2}})^{3}$=$\frac{1}{n^{2}}$ vậy bạn ?

 

Chắc bạn chưa để ý chỉ số chạy phải không?

[tuyet tran]

Chắc bạn chưa để ý chỉ số chạy phải không?

mk k hiểu , b giải thích cho mk đi

[An Infinitesimal]

mk k hiểu , b giải thích cho mk đi

 

Chỉ số chạy là $k$, đâu có gì để giải thích phải không?

[tuyet tran]

Chỉ số chạy là $k$, đâu có gì để giải thích phải không?

thế thì phải bằng 1/n^3 chứ

[An Infinitesimal]

thế thì phải bằng 1/n^3 chứ

Tổng gồm n số hạng, mỗi số hạng đều bằng $\frac{1}{n^3}$. Do đó tổng bằng $\frac{1}{n^2}.$

[tuyet tran]

Tổng gồm n số hạng, mỗi số hạng đều bằng $\frac{1}{n^3}$. Do đó tổng bằng $\frac{1}{n^2}.$

à ừ , mình hiểu rồi , thank b nhé !

[An Infinitesimal]

à ừ , mình hiểu rồi , thank b nhé !

 

Mấy bài toán này bạn tự nghiên cứu hay là bài toán từ môn học nào mà "gớm" thế

[tuyet tran]

Mấy bài toán này bạn tự nghiên cứu hay là bài toán từ môn học nào mà "gớm" thế

bài về nhà của thầy bạn ạ !

[An Infinitesimal]

bài về nhà của thầy bạn ạ !

Thanks!

 

Ban đầu mình bấn loạn! Chỉ thấy quen với $ \lim\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$. Thêm thằng $\lim$ vào, hết sức lạ lẫm!

[tuyet tran]

Thanks!

 

Ban đầu mình bấn loạn! Chỉ thấy quen với $ \lim\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$. Thêm thằng $\lim$ vào, hết sức lạ lẫm!

ừ , bạn nhìn còn biết chứ mk thì chả hiểu gì