Chủ đề này có 1 trả lời

[manhhung2013]

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{3}+3367=2^{y}$

[NHoang1608]

Nhận xét: với x là số tự nhiên thi $x^{3}\equiv 0,\pm 1(mod7)$ (có thể chứng minh bằng cách xét 7k+r hoặc bằng fermat)

$\rightarrow x^{3}+3367\equiv 0,\pm 1(mod7)$

$\Rightarrow 2^{y}\equiv 0,\pm 1(mod7) (1)$

Xét $y=3k+r(k,r\in \mathbb{N},r\in \left \{ 0,1,2 \right \})$

  +) Nếu $r\neq 0\Rightarrow 2^{y}=2^{3k+r}\equiv 8^{k}.2^{r}\equiv 2^{r}\equiv 2;4(mod7)$ trái với (1).

  +) Nếu r=0 hay y=3k

$\Rightarrow 2^{3k}-x^{3}=3367$

$\Rightarrow (2^{k}-x)(2^{2k}+2^{k}x+x^{2})=3367=1.7.13.37$

 TH1: x dương 

 Dễ thấy $2^{2k}+2^{k}x+x^{2}> 2^{k}-x$

Từ đây suy ra $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{\begin{matrix} 2^{k}-x=1 & \\ 2^{2k}+2^{k}.x+x^{2}=3367 & \end{matrix}\right.} \\ {\left\{\begin{matrix} 2^{k}-x=7 & \\2^{2k}+2^{k}.x+x^{2}=481 & \end{matrix}\right.} \\ \end{array}} \right.$ và

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{\begin{matrix} 2^{k}-x=13 & \\ 2^{2k}+2^{k}.x+x^{2}=259 & \end{matrix}\right.} \\ {\left\{\begin{matrix} 2^{k}-x=37 & \\2^{2k}+2^{k}.x+x^{2}=91 & \end{matrix}\right.} \\ \end{array}} \right.$.

Suy ra $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{\begin{matrix} k=1 & \\ x=561 & \end{matrix}\right.} \\ {\left\{\begin{matrix} k=1 & \\x=15 & \end{matrix}\right.} \\ \end{array}} \right.$ và $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{\begin{matrix} k=4 & \\ x=9 & \end{matrix}\right.} \\ {\left\{\begin{matrix} k=1 & \\x=-213 & \end{matrix}\right.} \\ \end{array}} \right.$. Thử lại thì k=4, x=9 hay x=9, y=12

 

 TH2: x âm. Tương tự (xét nhiều TH lắm nên mình ko viết nữa bạn tự làm nhé)

P/s: lần đầu đánh latex với lại ai cho mình biết cách gõ latex ngoặc vuông 4 trường hợp cái

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 25-02-2017 - 21:15