Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm $a, b$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{matrix} xyz+z=a & & & \\ xyz^{2}+z=b & & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 & & & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x^{2}-1}+\sqrt{3x^{3}-2}+3-3x=0.$

[An Infinitesimal]

Tìm $a, b$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{matrix} xyz+z=a & & & \\ xyz^{2}+z=b & & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 & & & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x^{2}-1}+\sqrt{3x^{3}-2}+3-3x=0.$

 

Bài 1:

 

Điều kiện cần

 

Nếu $(x,y,z)$ là một nghiệm thì $(y,x,z)$ cũng là nghiệm. Hơn nữa, $(-x,-y,z)$ cũng là nghiệm.

Do đó điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là $x=-x, y=-y$. Do đó $x=0, y=0.$

Do đó $z=a=b, z^2=4.$

Vì thế $a=b=2\, \vee a=b=-2.$

 

Điều kiện đủ:

 

Khi $a=b=c\in \{-2, 2\}.$

Từ hai phương trình đầu, ta có $xy(z^2-z)=0.$

Do đó $z=0 \vee z=1 \vee xy=0.$

 

 

Trường hợp 1:  $z=0.$ 

Khi đó $z=c\neq 0$ (vô lý).

 

 

Trường hợp 2:  $z=1.$

Ta có $xy=c-1$ và $x^2+y^2=3.$

Hệ có nghiệm khi $c=2 \vee c=-2.$

 

Trường hợp 3:  $xy=0.$

Ta có $z=c$ nên $x^2+y^2=0$. Do đó hệ có nghiệm $(x,y,z)=(0,0,c)$.

 

Do đó hệ không có nghiệm duy nhất.