Chủ đề này có 2 trả lời

[Hieutran2000]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 

$\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}+\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 25-02-2017 - 22:57

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 

$\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}+\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}}$

 

Vì

\[\begin{aligned}P = & \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca} -\frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}-\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}-\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}} \\&= \sum \frac{a[15ab^2(a+b)^2+20c^4a+2bc(9b^3+5bc^2+10c^3)+4abc(3a^2+11ab+14b^2)](a-b)^2}{5(ab+bc+ca)(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2} \geqslant 0.\end{aligned}\]

Cho nên $P \geqslant 0.$

[Hieutran2000]

Ta chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^{2}+c^{2})}{(a+c)^{2}}$

Thật vậy: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^{2}+c^{2})}{(a+c)^{2}} \Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+c)^{2}\geq 2(a^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+ac+c^{2})\geq (a^{2}+c^{2})(a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2}+c^{2}-ab-bc)^{2}\geqslant 0$ (luôn đúng)

Tương tự như vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.