Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \sum \frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Hieutran2000

Hieutran2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUST

Đã gửi 25-02-2017 - 22:56

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 

$\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}+\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 25-02-2017 - 22:57

$\sum =\prod$


#2 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-02-2017 - 13:26

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 

$\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}+\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}}$

 

\[\begin{aligned}P = & \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca} -\frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}-\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}-\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}} \\&= \sum \frac{a[15ab^2(a+b)^2+20c^4a+2bc(9b^3+5bc^2+10c^3)+4abc(3a^2+11ab+14b^2)](a-b)^2}{5(ab+bc+ca)(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2} \geqslant 0.\end{aligned}\]

Cho nên $P \geqslant 0.$


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3 Hieutran2000

Hieutran2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUST

Đã gửi 27-02-2017 - 22:21

Ta chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^{2}+c^{2})}{(a+c)^{2}}$

Thật vậy: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^{2}+c^{2})}{(a+c)^{2}} \Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+c)^{2}\geq 2(a^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+ac+c^{2})\geq (a^{2}+c^{2})(a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2}+c^{2}-ab-bc)^{2}\geqslant 0$ (luôn đúng)

Tương tự như vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.


$\sum =\prod$


#4 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 02-08-2020 - 14:19

\[\begin{aligned}P = & \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca} -\frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}-\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}-\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}} \\&= \sum \frac{a[15ab^2(a+b)^2+20c^4a+2bc(9b^3+5bc^2+10c^3)+4abc(3a^2+11ab+14b^2)](a-b)^2}{5(ab+bc+ca)(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2} \geqslant 0.\end{aligned}\]

Cho nên $P \geqslant 0.$

$$\displaystyle \text{P}=\frac{1}{ \left( ab+ca+bc \right)} \sum \frac{\Big[  \left( 2\,a+2\,b \right) {c}^{4}+ab{c}^{3}+ab \left( 3\,{a}^{2}+7\,ab+3\,{b}^{2} \right) c~+~3\,{a}^{2}{b}^{2} \left( a+b \right)\Big]  \left( a-b \right) ^{2}}{(a+b)(b+c)^2(c+a)^2} \geqslant 0.$$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh