Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Chứng minh rằng

$\forall n\geq 3$, tồn tại duy nhất $x_n\in [0;n]$ thỏa mãn phương trình: $x_n^n=e^{x_n}$. Tính $lim(x_n)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 01-03-2017 - 21:13

[vutuanhien]

Chứng minh rằng

$\forall n\geq 3$, tồn tại duy nhất $x_n\in [0;n]$ thỏa mãn phương trình: $x^n=e^{x_n}$. Tính $lim(x_n)$.

$x$ ở đây là số nào, có điều kiện gì?

[Baoriven]

$x_n$ là nghiệm của pt ứng với mỗi giá trị $n$. 

[vutuanhien]

Chứng minh rằng

$\forall n\geq 3$, tồn tại duy nhất $x_n\in [0;n]$ thỏa mãn phương trình: $x_n^n=e^{x_n}$. Tính $lim(x_n)$.

Xét hàm $f(x)=\dfrac{\ln{x}}{x}$ ($x\neq 0$). Hàm này xác định và liên tục trên $(0,n]$. Ta có $f(1)=0<\dfrac{1}{n}$, $f(e)=\dfrac{1}{e}>\dfrac{1}{n}$, do đó theo định lý giá trị trung gian thì phải tồn tại $x_{n}\in (1,e)$ sao cho $f(x_{n})=\dfrac{1}{n}$, tức là $x_{n}^n=e^{x_{n}}$.

Ta có $f'(x)=\dfrac{1-\ln{x}}{x^2}$, suy ra $f'(x)> 0$ với mọi $x\in (0, e)$ và $f(x)\leq 0$ với mọi $x\in [e,n]$. Do đó hàm $f$ tăng ngặt trên khoảng $(0,e)$ còn trên đoạn $[e,n]$ thì $f(x)$ nghịch biến và $f(x)\geq f(n)=\dfrac{\ln{n}}{n}> \dfrac{1}{n}$. Suy ra $x_{n}$ tồn tại và là duy nhất.

Mặt khác, vì $n\geq 3$ nên bằng định lý giá trị trung gian ta cũng có $x_{n}\in (1,2)$.

Áp dụng định lý Lagrange ta có:

$f(x_{n})-f(1) = f'(c)(x_{n}-1)$

với $c$ nào đó nằm trong khoảng $(1, x_{n})$. 

 

Ta dễ dàng chứng minh được hàm $f'(x)$ nghịch biến trong khoảng $(1,2)$ nên $f'(c)\geq \dfrac{1-\ln{2}}{4}$.

Do đó $\dfrac{1}{n}=\left | f(x_{n})-f(1) \right |\geq \dfrac{1-\ln{2}}{4}\left | x_{n}-1 \right |$, nên $\left | x_{n}-1 \right |\leq \dfrac{4}{n(1-\ln{2})}$. Cho $n\to \infty$ ta được $x_{n}\to 1$. Vậy giới hạn là $1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 01-03-2017 - 23:52