Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$. Chứng minh rằng đa thức $(x^2+1)^n+p$ bất khả quy trên $\mathbb Z[x]$
Chứng minh đa thức bất khả quy
Bắt đầu bởi manhtuan00, 26-02-2017 - 15:09
#2
Đã gửi 21-05-2017 - 22:13
Mở rộng thành trường Z[p}.
Giả sử ta có phân tích sau đây : $f(x)=g(x)h(x)$ với h,g là đa thức hệ số nguyên, deg h,g < n
Viết liên hợp của g(x) trong Zp[x} gọi là g'(x). Vậy ta có f'(x)=g'(x)h'(x) trong Zp[x]. Do p là số dạng 4k+3 nên x^2+1 bất khả quy trên trường Zp
Vậy ta có g'(x)=(x^2+1)^s và h'(x)=(x^2+1)^(n-s).
Bây giờ ta quay lại Z{x}
g(x)=(x^2+1)^s+ p.v(x) và h(x)= (x^2+1)^(n-s)+pt(x) với v,t là đa thức hs nguyên.
Ta thế lại, ta có 1=(x^2+1)^s.t(x)+(x^2+1)^(n-s). v(x) + p.v(x).t(x). Xét lại Zp[x] ta có x^2+1 là ước của 1 là vô lí
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 21-05-2017 - 22:19
- duylax2412 và Hr MiSu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh