Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh đa thức bất khả quy

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$. Chứng minh rằng đa thức $(x^2+1)^n+p$ bất khả quy trên $\mathbb Z[x]$



#2
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Mở rộng thành trường Z[p}.

 

Giả sử ta có phân tích sau đây : $f(x)=g(x)h(x)$ với h,g là đa thức hệ số nguyên, deg h,g < n

 

Viết liên hợp của g(x) trong Zp[x} gọi là g'(x). Vậy ta có f'(x)=g'(x)h'(x) trong Zp[x]. Do p là số dạng 4k+3 nên x^2+1 bất khả quy trên trường Zp

 

Vậy ta có g'(x)=(x^2+1)^s và h'(x)=(x^2+1)^(n-s). 

 

Bây giờ ta quay lại Z{x}

 

g(x)=(x^2+1)^s+ p.v(x) và h(x)= (x^2+1)^(n-s)+pt(x) với v,t là đa thức hs nguyên.

 

Ta thế lại, ta có 1=(x^2+1)^s.t(x)+(x^2+1)^(n-s). v(x) + p.v(x).t(x). Xét lại Zp[x] ta có x^2+1 là ước của 1 là vô lí :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 21-05-2017 - 22:19





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh