Chủ đề này có 1 trả lời

[Frankesten]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn : $5(a^2 + b^2 + c^2) = 9(ab + 2bc + ca)$

Tìm MAX:

$$ M = \frac{a}{b^2 + c^2} - \frac{1}{(a+b+c)^3}$$

[phamngochung9a]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn : $5(a^2 + b^2 + c^2) = 9(ab + 2bc + ca)$

Tìm MAX:

$$ M = \frac{a}{b^2 + c^2} - \frac{1}{(a+b+c)^3}$$

Từ đề bài, ta có: $5a^{2}+5\left ( b+c \right )^{2}=9a\left ( b+c \right )+28bc\leq 9a\left ( b+c \right )+7\left ( b+c \right )^{2}\\\Rightarrow 5a^{2}-9a\left ( b+c \right )-2\left ( b+c \right )^{2}\leq 0\Rightarrow a\leq 2\left ( b+c \right )$

 

$\Rightarrow M\leq \frac{2a}{\left ( b+c \right )^{2}}-\frac{1}{\left ( a+b+c \right )^{3}}\leq \frac{4}{b+c}-\frac{1}{27\left ( b+c \right )^{3}}$

 

Đặt $\frac{1}{b+c}=t$, xét hàm số $f\left ( t \right )=4t-\frac{1}{27}t^{3}\Rightarrow f'(t)=4-\frac{1}{9}t^{2}=0\Rightarrow t=6$

 

Vì $f'(t)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $t=6$ nên $f(t)\leq f\left ( 6 \right )=16$

 

Vậy $\max P = 16$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3} & \\ b=c=\frac{1}{12} & \end{matrix}\right.$