Chủ đề này có 17 trả lời

[tenlamgi]

Giải phương trình: $x^3-3x+1=0$

biết rằng cấp 2 không được dùng lượng giác hóa và số phức.

[Thuat ngu]

Giải phương trình: $x^3-3x+1=0$

biết rằng cấp 2 không được dùng lượng giác hóa và số phức.

Gợi ý: Đặt $x=t+\frac{1}{t}$. Phần còn lại chắc bạn xử lý được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thuat ngu: 01-03-2017 - 21:46

[linhphammai]

Gợi ý: Đặt $x= \frac{t}{6}+\frac{6}{t}$. Phần còn lại chắc bạn xử lý được.

Bạn làm cách nào để tìm ra được cách đặt ẩn như vậy ???

Có thể giải thích rõ được không ??

Mình chưa hiểu lắm...    

[Thuat ngu]

Bạn làm cách nào để tìm ra được cách đặt ẩn như vậy ???

Có thể giải thích rõ được không ??

Mình chưa hiểu lắm...    

Đặt như thế có vẻ hơi khó hình dung cách làm nhỉ? Các bạn nên đặt $x= t+\frac{1}{t}$ sẽ gọn hơn đấy!

Mình thường lượng giác hóa mấy bài này, còn hướng giải trên mình đã được một tiền bối chỉ cho, cải tiến thành đặt $x= t+\frac{1}{t}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thuat ngu: 01-03-2017 - 17:34

[IHateMath]

Gợi ý: Đặt $x= \frac{t}{6}+\frac{6}{t}$. Phần còn lại chắc bạn xử lý được.

Cách này sẽ dẫn tới một phương trình bậc 2 theo $t^3$, mà phương trình này không có nghiệm thực!

P/s: Đây chính là phép thế Viete: https://en.wikipedia...7s_substitution. Nói chung những trường hợp phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì cách này vẫn phải dùng đến số phức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 27-02-2017 - 23:15

[HoangKhanh2002]

Gợi ý: Đặt $x= \frac{t}{6}+\frac{6}{t}$. Phần còn lại chắc bạn xử lý được.

Cách đặt này không đi đến được kết quả vì pt cuối không có nghiệm. Mình đã thử

[Thuat ngu]

Cách đặt này không đi đến được kết quả vì pt cuối không có nghiệm. Mình đã thử

Mình làm nhầm, đã sửa lại rồi đó bạn.

[IHateMath]

Mình làm nhầm, đã sửa lại rồi đó bạn.

Vẫn vậy bạn à, phương trình thu được không có nghiệm thực. Bây giờ mình sẽ giải thích tại sao cách đặt này không có tác dụng nếu không dùng đến số phức.

Xét phương trình bậc 3 $x^3+px+q=0$ (1) có 3 nghiệm thực phân biệt. Khi đó, đặt $x=t-\frac{p}{3t}$ thì ta thu được phương trình $t^3+q+\frac{p^3}{27t^3}=0$. Nhân hai vế với $t^3$ để thu được $t^6+qt^3-\frac{p^3}{27}=0$. Đây là phương trình bậc hai theo $t^3$. Nó có nghiệm thực khi và chỉ khi $q^2-\frac{4p^3}{27}\geq 0$. Mặt khác ta biết rằng phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $q^2-\frac{4p^3}{27}<0$. Do đó nếu không dùng số phức thì cách này không áp dụng được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 01-03-2017 - 18:30

[tenlamgi]

Vẫn vậy bạn à, phương trình thu được không có nghiệm thực. Bây giờ mình sẽ giải thích tại sao cách đặt này không có tác dụng nếu không dùng đến số phức.
Xét phương trình bậc 3 $x^3+px+q=0$ (1) có 3 nghiệm thực phân biệt. Khi đó, đặt $x=t-\frac{p}{3t}$ thì ta thu được phương trình $t^3+q+\frac{p^3}{27t^3}=0$. Nhân hai vế với $t^3$ để thu được $t^6+qt^3-\frac{p^3}{27}=0$. Đây là phương trình bậc hai theo $t^3$. Nó có nghiệm thực khi và chỉ khi $q^2-\frac{4p^3}{27}\geq 0$. Mặt khác ta biết rằng phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $q^2-\frac{4p^3}{27}<0$. Do đó nếu không dùng số phức thì cách này không áp dụng được.

Vậy giả sử như một học sinh cấp 2 mà hỏi bài kiểu này thì mình phải làm sao?

[Thuat ngu]

Vậy giả sử như một học sinh cấp 2 mà hỏi bài kiểu này thì mình phải làm sao?

Đặt $x=t+\frac{1}{t}$ sẽ khắc phục được vấn đề

[huykinhcan99]

Đặt $x=t+\frac{1}{t}$ sẽ khắc phục được vấn đề

 

Đặt $x=t+\dfrac{1}{t}$, ta thu được phương trình

\[\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^3-3\left(t+\dfrac{1}{t}\right)+1=0 \iff \dfrac{\left(t^3+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{t^3}=0\]

 

Phương trình này vô nghiệm.

[viet9a14124869]

Đặt $x=t+\dfrac{1}{t}$, ta thu được phương trình

\[\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^3-3\left(t+\dfrac{1}{t}\right)+1=0 \iff \dfrac{\left(t^3+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{t^3}=0\]

 

Phương trình này vô nghiệm.

nhưng phương trình bậc 3 thường luôn có nghiệm mà bác ^-^

[victoranh]

pt này có n0 mà

[Thuat ngu]

Đặt $x=t+\dfrac{1}{t}$, ta thu được phương trình

\[\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^3-3\left(t+\dfrac{1}{t}\right)+1=0 \iff \dfrac{\left(t^3+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{t^3}=0\]

 

Phương trình này vô nghiệm.

Anh huykinhcan99 sao không nhân tung ra nhỉ?

key: $\left ( t+\frac{1}{t} \right )^{3}-3\left ( t+\frac{1}{t} \right )+1=0$ $< = > t^{3}+\frac{1}{t^{3}}+1=0$ $< = > t^{6}+t^{3}+1=0$

Đây là phương trình bậc 2 ẩn $t^{3}$, dùng công thức nghiệm sẽ giải được t và tìm được x

[huykinhcan99]

Anh huykinhcan99 sao không nhân tung ra nhỉ?

key: $\left ( t+\frac{1}{t} \right )^{3}-3\left ( t+\frac{1}{t} \right )+1=0$ $< = > t^{3}+\frac{1}{t^{3}}+1=0$ $< = > t^{6}+t^{3}+1=0$

Đây là phương trình bậc 2 ẩn $t^{3}$, dùng công thức nghiệm sẽ giải được t và tìm được x

 

 

À thì, cái phương trình đấy xét trên phương diện toán cấp 2 thì nó sẽ vô nghiệm... kể cả $t^6+t^3+1=0$, hay là phương trình của mình, nó chỉ có nghiệm phức...

[Thuat ngu]

À thì, cái phương trình đấy xét trên phương diện toán cấp 2 thì nó sẽ vô nghiệm... kể cả $t^6+t^3+1=0$, hay là phương trình của mình, nó chỉ có nghiệm phức...

Em đã hiểu ý. Bài này chỉ có nghiệm phức nên không thể giải trên phương diện toán cấp 2

[hoangquochung3042002]

Em đã hiểu ý. Bài này chỉ có nghiệm phức nên không thể giải trên phương diện toán cấp 2

cho hỏi mấy người lớp mấy v.

[Nghiapnh1002]

cho hỏi mấy người lớp mấy v.

Đặt $x=2y$ ta có phương trình:

$4y^3-3y=\frac{-1}{2}$, đặt $y=cos(t)\left ( t\in \left [ 0;\pi \right ] \right )$ ta có:

$cos(3t)=cos(\frac{2\pi }{3})$ từ đó ta có $x\in \left \{ 2cos(\frac{2\pi}{9});2cos(\frac{8\pi}{9});2cos(\frac{4\pi}{9}) \right \}$ 

P/s: Dạng này mình nghĩ phải dùng lượng giác.