Chủ đề này có 3 trả lời

[Nghiapnh1002]

Cho các số thực dương $x, y, z$  thỏa mãn điều kiện $x+y+z=\frac{3}{2}$

Tìm $Min$: $\sum \frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 27-02-2017 - 20:48

[victoranh]

? đề. nếu tìm min thì AM-Gm 

[Trinm]

Ta có BDT sau : $x^2+xy+y^2 \geq \frac{3}{4}(x+y)^2$

$x^2y+y^2z+z^2x\leq \frac{(x+y+z)^3}{9}$

$VT \geq \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{(x+y)^2}}{4yz+1}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{(y+z)^2}}{4zx+1}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{(z+x)^2}}{4xy+1}$

$= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)^2}{(x+y)(4yz+1)}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(y+z)^2}{(y+z)(4zx+1)}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(x+z)^2}{(x+z)(4xy+1)}$

$\geq \frac{\sqrt{3}}{2}[\frac{4(x+y+z)^2}{12xyz+2(x+y+z)+4(x^2y+y^2z+z^2x)}]$

$\geq \frac{\sqrt{3}}{2}[\frac{9}{12.\frac{(x+y+z)^3}{27}+3+4.\frac{(x+y+z)^3}{9}}]=\frac{3\sqrt{3}}{4} $

Vậy Min P = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trinm: 06-03-2017 - 20:07

[sharker]

x^2y+y^2z+z^2x\leq \frac{(x+y+z)^3}{9}

chứng minh hộ mình vs :3.các ngắn nhất á