Chủ đề này có 1 trả lời

[audreyrobertcollins]

cho P(x) =ax²+bx+c(a khác 0). Chứng minh với mỗi số nguyên dương n tồn tại nhiều nhất một đa thức Q(x) bậc n thỏa mãn: P(Q(x))=Q(P(x)).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 08-09-2017 - 23:00

[blackwave]

Do $P(Q(x))=Q(P(x))\Rightarrow aQ(x)^{2}+bQ(x)+c=Q(P(x))$(1)

Giả sử tồn tại ít nhất hai đa thức $Q(x)$ thỏa điều kiện đề bài 

Gọi đa thức khác đó là $T(x)$ do đó ta cũng có : 

$aT(x)^{2}+bT(x)+c=T(P(x))$(2)

Lấy $(1)-(2)$ rồi nhóm nhân tử ta được : $(T(x)-Q(x))(aT(x)+aQ(x)+b)=T(P(x))-Q(P(x))$(3)

Gọi $deg(T(x)-Q(x))=k(k\geq 2)$

Do $deg(VT(3))=kn$ 

mặt khác $VP(3)\leq 2n$

Nên $k\leq 2 \Rightarrow k=2$

Việc còn lại là xét trường hợp $deg(Q(x))=2$ là xong.